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Beitrag |
    
René
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 18:44: | 
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Hallo,
Ich wäre dankbar für eine möglichst ausführliche Herleitung
eines bestimmten Integrals, das ich für die Berechnung
des Volumens eines Rotationskörpers benötige.
Der Integrand lautet: sin x * wurzel ( 1+3*(cosx)^2) * dx,
untere Grenze 0 , obere Grenze Pi/2.
Danke im Voraus !
René
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 19:54: |
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Hi René,
Im Integrand f(x) =: sin x*wurzel (1+3*(cosx)^2) *dx
substituieren wir mittels der hyperbolischen Funktion
sinus hyperbolicus:
wurzel(3)* cos x = sinh t , also
- wurzel(3)* sin x * dx = cosh t *dt
Der neue Integrand in t lautet dann:
g(t) = - 1 / wurzel(3) * (cosh t )^2 * dt.
Unbestimmtes Integrieren führt auf
G(t) = - 1 / {2*wurzel(3)}* [ t + sinh t * cosh t ]
Macht man die Substitution rückgängig, so kommt:
G:= = - 1 /{2*wurzel(3)}* [ arsinh{ wurzel(3)*cos x }
+ wurzel(3) * cos x * wurzel (1+3*(cos x)^2)]
Setzt man die untere Grenze null und die obere Grenze
½ * Pi ein, so erhält man den Wert J des gesuchten
bestimmten Integrals, nämlich:
J = 1/6 * wurzel(3) * ln [wurzel(3) + 2] + 1 ~ 1,380173.
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Anmerkung
Am Schluss wurde von der Beziehung
arsinh (wurzel(3) ) = ln [(wurzel(3) + 2 )]
Gebrauch gemacht.
Gehe ich richtig in der Annahme, dass das
Ganze nach einer Bogenlängenberechnung einer
in Polarkoordinatendarstellung gegebenen Kurve aussieht ?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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René
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 21:26: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Ich danke für die sehr lehrreiche Herleitung !
Tatsächlich handelt es sich um eine Bogenlängenberechnung.
Die gegeben Kurve ist in Polarkoordinatendarstellung
gegeben ; es handelt sich um die Gleichung
r = a sin^2 (phi) für 0 < = phi < = Pi , welche einen
geschlossenen Kurvenzweig der Länge S darstellt.
Aus Symmetriegründen ergibt sich für das
Intervall 0< = phi < = Pi/2 zunächst
die Hälfte S/2 der gesuchten Bogenlänge
Für S ergibt sich der Wert 2 a * I, wobei I das in
der Aufgabe gegebene und soeben gelöste
bestimmte Integral darstellt.
Bitte um eine Kontrolle der Angelegenheit.
Mit freundlichen Grusse
René
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René
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 09:27: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Ich danke für die sehr lehrreiche Herleitung !
Tatsächlich handelt es sich um eine Bogenlängenberechnung.
Die gegeben Kurve ist in Polarkoordinatendarstellung
gegeben ; es handelt sich um die Gleichung
r = a sin^2 (phi) für 0 < = phi < = Pi , welche einen
geschlossenen Kurvenzweig der Länge S darstellt.
Aus Symmetriegründen ergibt sich für das
Intervall 0< = phi < = Pi/2 zunächst
die Hälfte S/2 der gesuchten Bogenlänge
Für S ergibt sich der Wert 2 a * I, wobei I das in
der Aufgabe gegebene und soeben gelöste
bestimmte Integral darstellt.
Bitte um eine Kontrolle der Angelegenheit.
Mit freundlichen Grusse
René
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 10:08: |
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Hi René,
Danke für Deine interessante Mitteilung.
Gerne leite ich Dir das Integral her, welches die
Länge S des Bogens der in Polarkoordinaten
gegebenen Kurve
r = a [sin (phi)]^2 für phi = 0 bis phi = Pi darstellt.
Wir gehen aus vom Bogenelement ds einer in
Polarkoordinatendarstellung vorliegenden
Kurve r = r(phi).
Bekanntlich (!) gilt in differentieller Schreibweise
(ds)^2 = (dr)^2 + [r*d(phi)] ^2
oder anders ausgedrückt:
ds / d(phi) = wurzel [{dr/d(phi)}^2 + r^2 ]
In unserem Fall gilt
r^2 = a^2*[sin(phi)]^4
{dr/d(phi)} ^ 2 = 4 a^2 *[sin(phi)]^2 * [cos(phi)]^2
Addiert man die beiden letzten Zeilen, so kommt rechts:
a^2* [sin(phi)]^2 * [{sin(phi)}^2 + 4 [cos(phi)^2 ] = , also
a^2* [sin(phi)]^2 * [ 1 + 3 [cos(phi)^2 ] ,
zieht man noch die Quadratwurzel, so hat man ,
abgesehen vom Faktor a, den Integranden Deines
Integrals vor sich.
Das wär´s !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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