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René
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 18:44: |
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Hallo, Ich wäre dankbar für eine möglichst ausführliche Herleitung eines bestimmten Integrals, das ich für die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers benötige. Der Integrand lautet: sin x * wurzel ( 1+3*(cosx)^2) * dx, untere Grenze 0 , obere Grenze Pi/2. Danke im Voraus ! René
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 19:54: |
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Hi René, Im Integrand f(x) =: sin x*wurzel (1+3*(cosx)^2) *dx substituieren wir mittels der hyperbolischen Funktion sinus hyperbolicus: wurzel(3)* cos x = sinh t , also - wurzel(3)* sin x * dx = cosh t *dt Der neue Integrand in t lautet dann: g(t) = - 1 / wurzel(3) * (cosh t )^2 * dt. Unbestimmtes Integrieren führt auf G(t) = - 1 / {2*wurzel(3)}* [ t + sinh t * cosh t ] Macht man die Substitution rückgängig, so kommt: G:= = - 1 /{2*wurzel(3)}* [ arsinh{ wurzel(3)*cos x } + wurzel(3) * cos x * wurzel (1+3*(cos x)^2)] Setzt man die untere Grenze null und die obere Grenze ½ * Pi ein, so erhält man den Wert J des gesuchten bestimmten Integrals, nämlich: J = 1/6 * wurzel(3) * ln [wurzel(3) + 2] + 1 ~ 1,380173. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Anmerkung Am Schluss wurde von der Beziehung arsinh (wurzel(3) ) = ln [(wurzel(3) + 2 )] Gebrauch gemacht. Gehe ich richtig in der Annahme, dass das Ganze nach einer Bogenlängenberechnung einer in Polarkoordinatendarstellung gegebenen Kurve aussieht ? Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath.
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René
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. März, 2002 - 21:26: |
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Hallo H.R.Moser,megamath, Ich danke für die sehr lehrreiche Herleitung ! Tatsächlich handelt es sich um eine Bogenlängenberechnung. Die gegeben Kurve ist in Polarkoordinatendarstellung gegeben ; es handelt sich um die Gleichung r = a sin^2 (phi) für 0 < = phi < = Pi , welche einen geschlossenen Kurvenzweig der Länge S darstellt. Aus Symmetriegründen ergibt sich für das Intervall 0< = phi < = Pi/2 zunächst die Hälfte S/2 der gesuchten Bogenlänge Für S ergibt sich der Wert 2 a * I, wobei I das in der Aufgabe gegebene und soeben gelöste bestimmte Integral darstellt. Bitte um eine Kontrolle der Angelegenheit. Mit freundlichen Grusse René
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René
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 09:27: |
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Hallo H.R.Moser,megamath, Ich danke für die sehr lehrreiche Herleitung ! Tatsächlich handelt es sich um eine Bogenlängenberechnung. Die gegeben Kurve ist in Polarkoordinatendarstellung gegeben ; es handelt sich um die Gleichung r = a sin^2 (phi) für 0 < = phi < = Pi , welche einen geschlossenen Kurvenzweig der Länge S darstellt. Aus Symmetriegründen ergibt sich für das Intervall 0< = phi < = Pi/2 zunächst die Hälfte S/2 der gesuchten Bogenlänge Für S ergibt sich der Wert 2 a * I, wobei I das in der Aufgabe gegebene und soeben gelöste bestimmte Integral darstellt. Bitte um eine Kontrolle der Angelegenheit. Mit freundlichen Grusse René
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. März, 2002 - 10:08: |
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Hi René, Danke für Deine interessante Mitteilung. Gerne leite ich Dir das Integral her, welches die Länge S des Bogens der in Polarkoordinaten gegebenen Kurve r = a [sin (phi)]^2 für phi = 0 bis phi = Pi darstellt. Wir gehen aus vom Bogenelement ds einer in Polarkoordinatendarstellung vorliegenden Kurve r = r(phi). Bekanntlich (!) gilt in differentieller Schreibweise (ds)^2 = (dr)^2 + [r*d(phi)] ^2 oder anders ausgedrückt: ds / d(phi) = wurzel [{dr/d(phi)}^2 + r^2 ] In unserem Fall gilt r^2 = a^2*[sin(phi)]^4 {dr/d(phi)} ^ 2 = 4 a^2 *[sin(phi)]^2 * [cos(phi)]^2 Addiert man die beiden letzten Zeilen, so kommt rechts: a^2* [sin(phi)]^2 * [{sin(phi)}^2 + 4 [cos(phi)^2 ] = , also a^2* [sin(phi)]^2 * [ 1 + 3 [cos(phi)^2 ] , zieht man noch die Quadratwurzel, so hat man , abgesehen vom Faktor a, den Integranden Deines Integrals vor sich. Das wär´s ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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