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Beweis 3 teilt (n^3 + 2n) mit n Eleme...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Zahlentheorie » Beweis 3 teilt (n^3 + 2n) mit n Element aus Z « Zurück Vor »

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Christoph Artz (Cartz)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 10:32:   Beitrag drucken

Wie beweit man folgendes:

3 teilt (n^3 + 2n) mit n Element aus Z ????
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franz
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 11:51:   Beitrag drucken

Vollständige Induktion. Was soll daran "Universitäts-Niveau" sein? F.
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 11:53:   Beitrag drucken

Hi Christoph,

Es genügt, die Behauptung für natürliche Zahlen n zu beweisen.
A priori gilt der Satz dann auch für ( -n ) , weil durch diese
Transformation
z = n ^ 3 + 2 * n in - z übergeht.

Die Behauptung beweisen wir mit vollständiger Induktion :
Verankerung: die Behauptung ist richtig für n = 1.
Vererbung: wir nehmen an, sie gelte für eine beliebige
natürliche Zahl n .
Wir sehen sofort, dass auch der für n+1 gebildete Term T, nämlich
T( n+1) = (n+1)^3 + 2* (n+1) = {n^3 + 2*n} + [3* n^2 + 3*n + 3 ]
durch drei teilbar ist.
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist es nach
Induktionsvoraussetzung , die eckige Klammer ist es,
weil jeder Summand den Faktor drei hat.
Damit ist der Induktionsbeweis vollständig.

Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 12:38:   Beitrag drucken

Hallo allerseits,

Die von Christoph gestellte Aufgabe kann trotz
des elementaren Niveaus für angehende Zahlentheoretiker
recht lehrreich sein.

Wir wollen für einmal nicht von der vollständigen Induktion
Gebrauch machen,
sondern durchwegs mit Restklassen arbeiten
und " modulo drei " rechnen
Wir schreiben in der ersten Zeile die
Folge der natürlichen Zahlen,
in der zweiten ihre dritten Potenzen ,
in der dritten 2*n
in der vierten die entscheidende Summe (zweite + dritte Zeile)
n ^ 3 + 2 * n
alles - wie gesagt - modulo drei, also:

1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 ...............

1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 ..............
2 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0 .............

0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ........
......
Es zeigt sich: n^3 + 2*n ist kongruent null modulo drei,
also ohne Rest durch drei teilbar.


Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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SpockGeiger (Spockgeiger)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 13:00:   Beitrag drucken

Hallo

Auf Uni-Niveau geht es auch, man probiert alle Faelle von n modulo 3:

n = 0 => n^3 + 2n = 0+0=0

n = 1 => n^3 + 2n = 1 + 2 = 0

n = 2 => n^3 + 2n = 2 + 1 = 0

Dabei sollen eigentlich die Gleichheitszeichen Kongruenz modulo 3 bedeuten

viele Gruesse
SpockGeiger
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Ingo
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 23:02:   Beitrag drucken

Und es geht noch anders :
n3+2n=n(n2+2)=n(n2-1+3)=n(n-1)(n+1)+3n
beide Summanden sind durch drei teilbar,also auch die Summe.
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Carmichael
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 14:11:   Beitrag drucken

und noch anders:):
n³+2n =n + 2n = 3n = 0 (mod 3);
n³ = n kleiner Fermat

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