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Christoph Artz (Cartz)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 10:32: |
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Wie beweit man folgendes: 3 teilt (n^3 + 2n) mit n Element aus Z ???? |
franz
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 11:51: |
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Vollständige Induktion. Was soll daran "Universitäts-Niveau" sein? F. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 11:53: |
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Hi Christoph, Es genügt, die Behauptung für natürliche Zahlen n zu beweisen. A priori gilt der Satz dann auch für ( -n ) , weil durch diese Transformation z = n ^ 3 + 2 * n in - z übergeht. Die Behauptung beweisen wir mit vollständiger Induktion : Verankerung: die Behauptung ist richtig für n = 1. Vererbung: wir nehmen an, sie gelte für eine beliebige natürliche Zahl n . Wir sehen sofort, dass auch der für n+1 gebildete Term T, nämlich T( n+1) = (n+1)^3 + 2* (n+1) = {n^3 + 2*n} + [3* n^2 + 3*n + 3 ] durch drei teilbar ist. Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist es nach Induktionsvoraussetzung , die eckige Klammer ist es, weil jeder Summand den Faktor drei hat. Damit ist der Induktionsbeweis vollständig. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 12:38: |
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Hallo allerseits, Die von Christoph gestellte Aufgabe kann trotz des elementaren Niveaus für angehende Zahlentheoretiker recht lehrreich sein. Wir wollen für einmal nicht von der vollständigen Induktion Gebrauch machen, sondern durchwegs mit Restklassen arbeiten und " modulo drei " rechnen Wir schreiben in der ersten Zeile die Folge der natürlichen Zahlen, in der zweiten ihre dritten Potenzen , in der dritten 2*n in der vierten die entscheidende Summe (zweite + dritte Zeile) n ^ 3 + 2 * n alles - wie gesagt - modulo drei, also: 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 ............... 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 2 , 0 .............. 2 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0 , 2 , 1 , 0 ............. 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ........ ...... Es zeigt sich: n^3 + 2*n ist kongruent null modulo drei, also ohne Rest durch drei teilbar. Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
SpockGeiger (Spockgeiger)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 13:00: |
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Hallo Auf Uni-Niveau geht es auch, man probiert alle Faelle von n modulo 3: n = 0 => n^3 + 2n = 0+0=0 n = 1 => n^3 + 2n = 1 + 2 = 0 n = 2 => n^3 + 2n = 2 + 1 = 0 Dabei sollen eigentlich die Gleichheitszeichen Kongruenz modulo 3 bedeuten viele Gruesse SpockGeiger |
Ingo
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 07. September, 2000 - 23:02: |
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Und es geht noch anders : n3+2n=n(n2+2)=n(n2-1+3)=n(n-1)(n+1)+3n beide Summanden sind durch drei teilbar,also auch die Summe. |
Carmichael
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 07. Februar, 2001 - 14:11: |
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und noch anders: n³+2n =n + 2n = 3n = 0 (mod 3); n³ = n kleiner Fermat |
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