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Kay Schönberger (Kay_s)
Neues Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:46: | 
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Bezeichne AGM(a,b) das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b. Zeigen Sie, daß folgendes gilt:
Mich würde ja vor allem interessieren, wie man hier auf Werte der Gammafunktion kommt.
Kay S. |
Kay Schönberger (Kay_s)
Neues Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:50: |
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Hier nocheinmal das Bild:
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Kay Schönberger (Kay_s)
Neues Mitglied
Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:54: |
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Warum funktioniert der Upload nicht? Also im Klartext: Es ist
AGM(1,wurzel(2)/2) = gamma(3/4)^2 / wurzel(pi)
zu zeigen.
MfG
Kay S. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 09:09: |
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Hi Kay
Der Bogen spannt sich von Leonhard Euler (1707 - 1783) über
Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) zu
Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855).
Erster Teil
Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist die Betafunktion
oder das Eulersche Integral erster Gattung
B(p , q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0)
untere Grenze 0 , obere Grenze 1.
Mit Hilfe der Gammafunktion G(p) (Eulersches Integral zweiter Gattung)
G(p) = int [e ^ (-x) * x^(p-1) * dx ] ,(p>0) kann B(p,q) auch so geschrieben werden:
B(p , q) = [G(p)* G(q) ] / [G(p)+G(q) ] .
Nun substituieren wir im Integral für B( p, q ) folgendermassen:
x = (sin t) ^2 , dx = 2* sin t * cos t; es entsteht:
B( p,q ) = 2 * int [ ( sint ) ^ (2p-1) * (cos t) ^ (2q-1) * dt ]
untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi.
Sei jetzt p = ½ , q = ¼ , dann kommt
B( ½ , ¼ ) = 2 * int [ ( sin t ) ^ 0 * (cos t) ^ (- ½ ) * dt ]
untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi.
Also
B( ½ , ¼) = 2 * int [ 1 / wurzel (cos t ) * dt ] = [G( ½ ) * G( ¼ ) ] / G( ¾ )
bekanntlich gilt
G( ½ ) = wurzel(Pi) und
G( ¼ ) * G( ¾ ) = Pi * wurzel(2), daher:
B( ½ , ¼) = 2 * int [1 / wurzel (cos t ) * dt ] = [ G( ¼ ) ] ^2 / wurzel ( 2* Pi) .... (I)
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Zweiter Teil
Jetzt berechnen wir ein bestimmtes Integral J , das bei der Ermittlung des gesuchten
AMG (ein Begriff, der von Lagrange stammt !) eine entscheidende Rolle spielt.
Es ist das Integral
J = int [1/wurzel (1 - x^4 ) * dx ], untere Grenze 0 obere Grenze 1.
In diesem Integral substituieren wir so:
x^2 = cos t , 2*x*dx = - sin t * dt
Es entsteht:
J = ½ * int [dt /{wurzel(cos t)}] , untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi.
Nach den Ausführungen im ersten Teil wird daraus:
J = ¼ * B( ½ , ¼ ) = ¼ * [ G( ¼ ) ] ^2 / wurzel ( 2* Pi) .... .............................(II)
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Dritter Teil
Die Bezeichnung AGM für das arithmetisch-geometrische Mittel
stammt von C.F. Gauss.
Wir bezeichnen das gesuchte AGM (1,wurzel 2) zur Abkürzung mit M*
Bereits 1799 fand Gauss die Formel mittels eines Integrals, das wir
bereits kennen gelernt haben (untere Grenze ,obere Grenze 1):
M* = Pi /{2* int [dx/wurzel(1-x^4)] }.................................................................(III)
Im Nenner steht gerade 4* J aus Teil 2.
Benützt man Formel (II), so erhält man das Schlussresultat:
M* = 2* Pi* wurzel (2*Pi) / [ G ( ¼ ) ] ^2 …………………………………….(IV)
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Numerischer Wert: setze für G ( ¼ ) den Näherungswert 3,625609909; damit:
M* ~ 1,1981402
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 10:34: |
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Hi Kay,
Es folgen noch einige Ergänzungen zu meinem Beitrag.
1)
Man kann das Ergebnis für M* =AGM (1,wurzel 2)
auch mit G( ¾ ) statt mit G( ¼ ) ausdrücken,
wenn man die Relation
G( ¼ ) * G( ¾ ) = Pi * wurzel (2) verwendet.
Resultat;
M* = wurzel(2) * [ G( ¾ ) ] ^ 2 / wurzel (Pi )
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2)
Die von Gauss 1799 aufgestellte Formel lautet:
L = 2 * int [dx / wurzel (1-x^4)] = Pi / M*
untere Grenze des Integrals 0 , obere Grenze 1
Deutung von L:
L ist die Gesamtlänge des Umfangs derjenigen
Lemniskate mit der Polargleichung
R = a^2 * cos ( 2*phi) , deren Fläche 2 beträgt.
Mit a = wurzel(2) kommt der obige Wert für L
L heisst daher Lemniskatenkonstante oder auch
Gauss-Konstante.
Numerischer Wert:
L ~ Pi * 0,8346268
3)
Das arithmetisch - geometrische Mittel tritt auch auf
in einem vollständigen elliptischen Integral erster Art
für 0<=k<1 mit t = 0 als unterer und t = ½ * Pi als oberer Grenze
K(k) = int [ dt / wurzel{1 - k^2*(sin t)^2}=
Pi / [2*AGM{1, wurzel{1 - k^2}].
Soweit, so gut !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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