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Kay Schönberger (Kay_s)
Neues Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:46: |
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Bezeichne AGM(a,b) das arithmetisch-geometrische Mittel von a und b. Zeigen Sie, daß folgendes gilt: Mich würde ja vor allem interessieren, wie man hier auf Werte der Gammafunktion kommt. Kay S. |
Kay Schönberger (Kay_s)
Neues Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:50: |
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Hier nocheinmal das Bild:
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Kay Schönberger (Kay_s)
Neues Mitglied Benutzername: Kay_s
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 01-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 16:54: |
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Warum funktioniert der Upload nicht? Also im Klartext: Es ist AGM(1,wurzel(2)/2) = gamma(3/4)^2 / wurzel(pi) zu zeigen. MfG Kay S. |
H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 09:09: |
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Hi Kay Der Bogen spannt sich von Leonhard Euler (1707 - 1783) über Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) zu Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855). Erster Teil Ausgangspunkt unserer Betrachtung ist die Betafunktion oder das Eulersche Integral erster Gattung B(p , q) = int [x^(p-1) * (1-x)^(q-1) * dx ] , (p>0,q>0) untere Grenze 0 , obere Grenze 1. Mit Hilfe der Gammafunktion G(p) (Eulersches Integral zweiter Gattung) G(p) = int [e ^ (-x) * x^(p-1) * dx ] ,(p>0) kann B(p,q) auch so geschrieben werden: B(p , q) = [G(p)* G(q) ] / [G(p)+G(q) ] . Nun substituieren wir im Integral für B( p, q ) folgendermassen: x = (sin t) ^2 , dx = 2* sin t * cos t; es entsteht: B( p,q ) = 2 * int [ ( sint ) ^ (2p-1) * (cos t) ^ (2q-1) * dt ] untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi. Sei jetzt p = ½ , q = ¼ , dann kommt B( ½ , ¼ ) = 2 * int [ ( sin t ) ^ 0 * (cos t) ^ (- ½ ) * dt ] untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi. Also B( ½ , ¼) = 2 * int [ 1 / wurzel (cos t ) * dt ] = [G( ½ ) * G( ¼ ) ] / G( ¾ ) bekanntlich gilt G( ½ ) = wurzel(Pi) und G( ¼ ) * G( ¾ ) = Pi * wurzel(2), daher: B( ½ , ¼) = 2 * int [1 / wurzel (cos t ) * dt ] = [ G( ¼ ) ] ^2 / wurzel ( 2* Pi) .... (I) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Zweiter Teil Jetzt berechnen wir ein bestimmtes Integral J , das bei der Ermittlung des gesuchten AMG (ein Begriff, der von Lagrange stammt !) eine entscheidende Rolle spielt. Es ist das Integral J = int [1/wurzel (1 - x^4 ) * dx ], untere Grenze 0 obere Grenze 1. In diesem Integral substituieren wir so: x^2 = cos t , 2*x*dx = - sin t * dt Es entsteht: J = ½ * int [dt /{wurzel(cos t)}] , untere Grenze 0 , obere Grenze ½ * Pi. Nach den Ausführungen im ersten Teil wird daraus: J = ¼ * B( ½ , ¼ ) = ¼ * [ G( ¼ ) ] ^2 / wurzel ( 2* Pi) .... .............................(II) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Dritter Teil Die Bezeichnung AGM für das arithmetisch-geometrische Mittel stammt von C.F. Gauss. Wir bezeichnen das gesuchte AGM (1,wurzel 2) zur Abkürzung mit M* Bereits 1799 fand Gauss die Formel mittels eines Integrals, das wir bereits kennen gelernt haben (untere Grenze ,obere Grenze 1): M* = Pi /{2* int [dx/wurzel(1-x^4)] }.................................................................(III) Im Nenner steht gerade 4* J aus Teil 2. Benützt man Formel (II), so erhält man das Schlussresultat: M* = 2* Pi* wurzel (2*Pi) / [ G ( ¼ ) ] ^2 …………………………………….(IV) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Numerischer Wert: setze für G ( ¼ ) den Näherungswert 3,625609909; damit: M* ~ 1,1981402 °°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 10:34: |
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Hi Kay, Es folgen noch einige Ergänzungen zu meinem Beitrag. 1) Man kann das Ergebnis für M* =AGM (1,wurzel 2) auch mit G( ¾ ) statt mit G( ¼ ) ausdrücken, wenn man die Relation G( ¼ ) * G( ¾ ) = Pi * wurzel (2) verwendet. Resultat; M* = wurzel(2) * [ G( ¾ ) ] ^ 2 / wurzel (Pi ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° 2) Die von Gauss 1799 aufgestellte Formel lautet: L = 2 * int [dx / wurzel (1-x^4)] = Pi / M* untere Grenze des Integrals 0 , obere Grenze 1 Deutung von L: L ist die Gesamtlänge des Umfangs derjenigen Lemniskate mit der Polargleichung R = a^2 * cos ( 2*phi) , deren Fläche 2 beträgt. Mit a = wurzel(2) kommt der obige Wert für L L heisst daher Lemniskatenkonstante oder auch Gauss-Konstante. Numerischer Wert: L ~ Pi * 0,8346268 3) Das arithmetisch - geometrische Mittel tritt auch auf in einem vollständigen elliptischen Integral erster Art für 0<=k<1 mit t = 0 als unterer und t = ½ * Pi als oberer Grenze K(k) = int [ dt / wurzel{1 - k^2*(sin t)^2}= Pi / [2*AGM{1, wurzel{1 - k^2}]. Soweit, so gut ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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