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Christian Kröger (christian962)
Junior Mitglied
Benutzername: christian962
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 15:19: | 
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Ich komme bei folgenden Aufgaben nicht wirklich weiter, kann mir jnd weiterhelfen?
1.) Sei U:=<(1,1,0,1),(1,1,1,1)> aus IR hoch 4. Bestimme einen Teilraum U' mit U+U'=IR hoch 4; +:= direkte Summe
2.) Gibt es im IR hoch 6 Unterräume U1, U2 mit dim1=4 und dim2=3 und dim(U1 geschnitten U2)=0 bzw. 1 bzw. 2 bzw. 3 bzw. 4? Wenn ja, gib konkrete Bspe an.
3.) Sei n aus IN, n größer/gleich 2, V ein n-dimensionaler Vektorraum über IR. Zeige:
a) Sind v1, v2 aus V lin. unabh., so sind für L aus IR VL:=<v1+Lv2> paarweise verschieden.
b) In V gibt es unendlich viele paarweise verschiedene Teilräume der Dimension k aus {1,...,n-1}.
c) Seinen V1,...,Vr Teilräume von V mit V=Vereinigung von i=1 bis r über Vi. Dann gibt es ein r0 aus {1,...,r} mit V=Vr0. |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 589
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 09:07: |
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Christian,
Hier ein paar Denkanstösse !
1.) Offenbar muss dim U' =2 sein, also U'=<u,v>
derart, dass u,v, (1,1,0,1,),(1,1,1,1) eine Basis
von R4 bilden, d.h. linear unabhängig sind.
Versuche es z.B. mit u=(1,0,0,0),v=(0,0,-1,1).
Beachte: die Summe U+U' ist direkt g.d.w.
Schnitt(U,U')={0} ist.
2.) Sei S := U1+U2 (nicht notwendig direkt ),D:=
Schnitt (U1,U2). Nach der Dimensionsformel
dim U1 + dim U2 = dim S + dim D
soll dim S + dim D = 4+3=7 sein. Ist dim D =0, so
ergibt sich ein Widerspruch, denn dim S £ 6.
Ist dim D = 1, so lassen sich U1,U2 leicht so finden,dass R6 = U1+U2 (direkt) ist. Analog
diskutiert man die beiden restlichen Fälle.
3.a) Nimm an, dass <v1+lv2> =
<v1+mv2>, also
v1+lv2=
a(v1+mv2).
Weil v1, v2 linear unabhängig, so folgt
daraus leicht a=1, l=m.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 590
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 11:03: |
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Fortsetzung:
3.b) Sei k<n. Zu zeigen: Es gibt ¥ viele paarweise
verschiedene Teilräume W mit dim W = k.
Nimm dazu einen Teilraum U=<u1,...uk-1)
der Dimension k-1£n-2. Dann gibt es linear unabhängige v,w die nicht in U liegen. Dann sind
nach 3.a) die 1-dimensionalen Teilräume Ll
:=<v+lw> paarweise verschieden.
Dies gilt dann auch für die k-dimensionalen Teilräume
Ul := U + Ll.
mfG Orion
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