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Christian Kröger (christian962)
Junior Mitglied Benutzername: christian962
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 12-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 26. Mai, 2003 - 15:19: |
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Ich komme bei folgenden Aufgaben nicht wirklich weiter, kann mir jnd weiterhelfen? 1.) Sei U:=<(1,1,0,1),(1,1,1,1)> aus IR hoch 4. Bestimme einen Teilraum U' mit U+U'=IR hoch 4; +:= direkte Summe 2.) Gibt es im IR hoch 6 Unterräume U1, U2 mit dim1=4 und dim2=3 und dim(U1 geschnitten U2)=0 bzw. 1 bzw. 2 bzw. 3 bzw. 4? Wenn ja, gib konkrete Bspe an. 3.) Sei n aus IN, n größer/gleich 2, V ein n-dimensionaler Vektorraum über IR. Zeige: a) Sind v1, v2 aus V lin. unabh., so sind für L aus IR VL:=<v1+Lv2> paarweise verschieden. b) In V gibt es unendlich viele paarweise verschiedene Teilräume der Dimension k aus {1,...,n-1}. c) Seinen V1,...,Vr Teilräume von V mit V=Vereinigung von i=1 bis r über Vi. Dann gibt es ein r0 aus {1,...,r} mit V=Vr0. |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 589 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 09:07: |
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Christian, Hier ein paar Denkanstösse ! 1.) Offenbar muss dim U' =2 sein, also U'=<u,v> derart, dass u,v, (1,1,0,1,),(1,1,1,1) eine Basis von R4 bilden, d.h. linear unabhängig sind. Versuche es z.B. mit u=(1,0,0,0),v=(0,0,-1,1). Beachte: die Summe U+U' ist direkt g.d.w. Schnitt(U,U')={0} ist. 2.) Sei S := U1+U2 (nicht notwendig direkt ),D:= Schnitt (U1,U2). Nach der Dimensionsformel dim U1 + dim U2 = dim S + dim D soll dim S + dim D = 4+3=7 sein. Ist dim D =0, so ergibt sich ein Widerspruch, denn dim S £ 6. Ist dim D = 1, so lassen sich U1,U2 leicht so finden,dass R6 = U1+U2 (direkt) ist. Analog diskutiert man die beiden restlichen Fälle. 3.a) Nimm an, dass <v1+lv2> = <v1+mv2>, also v1+lv2= a(v1+mv2). Weil v1, v2 linear unabhängig, so folgt daraus leicht a=1, l=m.
mfG Orion
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Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 590 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. Mai, 2003 - 11:03: |
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Fortsetzung: 3.b) Sei k<n. Zu zeigen: Es gibt ¥ viele paarweise verschiedene Teilräume W mit dim W = k. Nimm dazu einen Teilraum U=<u1,...uk-1) der Dimension k-1£n-2. Dann gibt es linear unabhängige v,w die nicht in U liegen. Dann sind nach 3.a) die 1-dimensionalen Teilräume Ll :=<v+lw> paarweise verschieden. Dies gilt dann auch für die k-dimensionalen Teilräume Ul := U + Ll. mfG Orion
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