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Beitrag |
    
Sandra (daggys17)
Junior Mitglied
Benutzername: daggys17
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 16:28: | 
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Hallo!
Folgende Aufgabe soll ich lösen:
1. Zeigen Sie, dass die Matrix P = 1/9 eine Markov-Matrix ist und bestimmen Sie einen stabilen Zustand.
2. Seien P und Q Markov-Matrizen gleicher Dimension. Zeigen Sie:
a) PQ und QP sind Markov-Matrizen.
b) Falls x stabiler Zustand von PQ ist, dann ist y = Qx stabiler Zustand von QP und es gilt Py = x.
Ich weiss überhaupt nicht, wie das gehen soll. Wer kann mir weiterhelfen? |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 573
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 10:53: |
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Sandra,
1.Die Elemente der Matrix Matrix P sind nicht negativ,und die Spaltensummen sind =1. Ein stabiler Zustand ist gekennzeichnet
durch einen nicht negativen Spaltenvektor p=(x,y,z)t sodass
Pp = p und x+y+z=1.
Das entsprechende lineare Gleichungssystem ist leicht zu lösen und
ergibt (rechne nach !)
p = (17/61,20/61,24/61) .
2. a)Man rechnet einfach nach, dass die
Matrixelemente nicht negativ sind, und dass
die Spaltensummen =1 sind.
b) PQx=x ==> QPy=y.
mfG Orion
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Sandra (daggys17)
Junior Mitglied
Benutzername: daggys17
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 08:40: |
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Hallo Orion!
Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe! Aber irgendwie verstehe ich nicht, wie man auf 17/61, 20/61 und 24/61 kommt. Ich habe doch vier Gleichungen:
1/9x+2/9y+4/9z=x
3/9y+5/9z=y
8/9x+4/9y =z
x+ y+ z=1
was man auch umformen könnte zu
-8/9x+2/9y+4/9z=0
-6/9y+5/9z=0
8/9x+4/9y- z=0
x+ y+ z=1
Wie soll es dann weitergehen?
x=17/61, y=20/61, z=24/61 erfüllt doch nur die 4. Gleichung, die anderen nicht, oder?
Und bei 2b) verstehen ich auch nicht, wie das den Beweis liefern soll.
Kannst Du mir nochmal helfen?
Gruss,
Sandra |
Orion (orion)
Senior Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 575
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 11:05: |
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Sandra,
Pp=p <==> (P - E)p = 0
ist zunächst ein homogenes lineares
Gleichungssystem. Es besitzt die
nichttriviale Lösung (17,20,24)t
(rechne nach !), dies ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Jedes Skalarvielfache
l(17,20,24)t ist ebenfalls eine
Lösung, und man bestimmt l so, dass
die Summe der Komponenten=1 wird, was
auf l=1/61 führt.
2b) : Aus der Voraussetzung PQx=x
folgt durch Linksmultiplikation mit Q
wegen Qx=:y die Behauptung
QPy=y.
mfG Orion
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