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Sandra (daggys17)
Junior Mitglied Benutzername: daggys17
Nummer des Beitrags: 6 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Samstag, den 17. Mai, 2003 - 16:28: |
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Hallo! Folgende Aufgabe soll ich lösen: 1. Zeigen Sie, dass die Matrix P = 1/9 eine Markov-Matrix ist und bestimmen Sie einen stabilen Zustand. 2. Seien P und Q Markov-Matrizen gleicher Dimension. Zeigen Sie: a) PQ und QP sind Markov-Matrizen. b) Falls x stabiler Zustand von PQ ist, dann ist y = Qx stabiler Zustand von QP und es gilt Py = x. Ich weiss überhaupt nicht, wie das gehen soll. Wer kann mir weiterhelfen? |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 573 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 18. Mai, 2003 - 10:53: |
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Sandra, 1.Die Elemente der Matrix Matrix P sind nicht negativ,und die Spaltensummen sind =1. Ein stabiler Zustand ist gekennzeichnet durch einen nicht negativen Spaltenvektor p=(x,y,z)t sodass Pp = p und x+y+z=1. Das entsprechende lineare Gleichungssystem ist leicht zu lösen und ergibt (rechne nach !) p = (17/61,20/61,24/61) . 2. a)Man rechnet einfach nach, dass die Matrixelemente nicht negativ sind, und dass die Spaltensummen =1 sind. b) PQx=x ==> QPy=y.
mfG Orion
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Sandra (daggys17)
Junior Mitglied Benutzername: daggys17
Nummer des Beitrags: 8 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 08:40: |
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Hallo Orion! Erstmal vielen Dank für Deine Hilfe! Aber irgendwie verstehe ich nicht, wie man auf 17/61, 20/61 und 24/61 kommt. Ich habe doch vier Gleichungen: 1/9x+2/9y+4/9z=x 3/9y+5/9z=y 8/9x+4/9y =z x+ y+ z=1 was man auch umformen könnte zu -8/9x+2/9y+4/9z=0 -6/9y+5/9z=0 8/9x+4/9y- z=0 x+ y+ z=1 Wie soll es dann weitergehen? x=17/61, y=20/61, z=24/61 erfüllt doch nur die 4. Gleichung, die anderen nicht, oder? Und bei 2b) verstehen ich auch nicht, wie das den Beweis liefern soll. Kannst Du mir nochmal helfen? Gruss, Sandra |
Orion (orion)
Senior Mitglied Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 575 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 19. Mai, 2003 - 11:05: |
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Sandra, Pp=p <==> (P - E)p = 0 ist zunächst ein homogenes lineares Gleichungssystem. Es besitzt die nichttriviale Lösung (17,20,24)t (rechne nach !), dies ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. Jedes Skalarvielfache l(17,20,24)t ist ebenfalls eine Lösung, und man bestimmt l so, dass die Summe der Komponenten=1 wird, was auf l=1/61 führt. 2b) : Aus der Voraussetzung PQx=x folgt durch Linksmultiplikation mit Q wegen Qx=:y die Behauptung QPy=y.
mfG Orion
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