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petra (petii)
Neues Mitglied
Benutzername: petii
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 08:56: | 
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hallo...
ich hab ein problem bei folgender aufgabe :
Es sei V ein reeler Vektorraum mit einem skalarprodukt <.,.> und der entsprechenden Norm ||.||. Zeigen sie das dann für beliebiges u,v element V gilt:
a) ||u+v||+||u-v||=2(||u||+||v||)
b) ||u+v||hoch 2 = ||u||hoch 2+ ||v|| hoch 2,genau dann wenn < u,v > =0
kann mir jemand helfen ??
PETRA |
Martin (specage)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 13:00: |
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Hallo, kann es sein, dass dir bei a) ein Fehler bei der Eingabe passiert ist? Die Formel soll doch wohl die Parallelidentität darstellen?
Bitte um feedback. Danke
mfg specage |
Martin (specage)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 54
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 13. Mai, 2003 - 13:05: |
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Für b) hab ich folgendes:
Sei ||u||=sqrt(<u,u>) die über das Skalarprodukt definierte Norm.
Dann gilt:
||u+v||^2=<u+v,u+v>=u1^2+u2^2+u3^2+v1^2+v2^2+v3^2+ 2(u1v1+u2v2+u3v3)
=<u,u>+<v,v>+2<u,v>=||u||^2+||v||^2+2<u,v>
Nur wenn <u,v> = 0 ist, gilt die obige Gleichung:
||u+v||^2=||u||^2+||v||^2
PS: Geometrisch handelt es sich um nichts anderes als den Satz des Pythagoras.
mfg specage |
petra (petii)
Neues Mitglied
Benutzername: petii
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 05-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 11:37: |
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hallo martin danke für deine antwort zu b)....hast mich damit bestätigt...ja und bei a ) ist es eine falsche eingabe...
richtig wäre:
||u+v||hoch 2 + ||u-v||hoch 2 =
2(||u||hoch2+||v||hoch2) |
Martin (specage)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: specage
Nummer des Beitrags: 61
Registriert: 04-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. Mai, 2003 - 12:33: |
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Gut, dann lautet die Herleitung mit Hilfe des Distributivgesetzes und der Definition ||u||^2=<u,u>:
||u+v||^2+||u-v||^2=<u+v,u+v>+<u-v,u-v>
=<u,u+v>+<v,u+v>+<u,u-v>-<v,u-v>
=<u,u>+<u,v>+<v,u>+<v,v>+<u,u>-<u,v>-<v,u>+<v,v>
=2*<u,u>+2*<v,v>=2*(<u,u>+<v,v>)=2*(||u||^2+||v||^ 2)
q.e.d.
mfg specage |
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