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Fibonacci-Dreieck

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Zahlentheorie » Fibonacci-Dreieck « Zurück Vor »

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Hans (hans_mayer)
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Benutzername: hans_mayer

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 10:57:   Beitrag drucken

Hallo.

Ich habe folgende Aufgabe und weiß einfach nicht, wie ich sie lösen kann:

Man zeige, dass kein Dreick existiert, dessen Seitenlängen durch unterschiedliche Zahlen aus der Fibonacci-Folge ausgedrückt werden können.

Das ist keine aktuelle Wettbewerbsaufgabe. Sie stammt aus dem Buch "Köpfchen muß man haben" des russischen Mathematikers Boris Kordemski.

Bitte helft mir!

Hans
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 442
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:16:   Beitrag drucken

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
o.B.d.A.: a < b < c

die dreiecksungleichung muß gelten:

a + b > c
handelt es sich um 3 aufeinanderfolgende Fibonaccifolgenwerte ergibt sich damit bereits Widerspruch, weil da c = a + b und nie c < a + b ist.

wenn a + b > c gelten muß, muß auch c - b < a gelten, und das darf ein anderer Begründen, warum das kein 3eck sein kann;
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Hans (hans_mayer)
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Benutzername: hans_mayer

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:37:   Beitrag drucken

Wie kommst Du darauf, dass es sich um aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen handelt. Können das nicht auch x-beliebige Folgenglieder sein?
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Walter H. (mainziman)
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Benutzername: mainziman

Nummer des Beitrags: 443
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:43:   Beitrag drucken

sagte ja, daß das der Trivialfall des Beweises ist :-)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Hans (hans_mayer)
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Benutzername: hans_mayer

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:44:   Beitrag drucken

Hast Du auch eine Idee für den anderen Fall?
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Hans (hans_mayer)
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Benutzername: hans_mayer

Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 11:57:   Beitrag drucken

Hat sich erledigt. Ich habe schon in einem anderen Forum die korrekte Lösung erhalten.

Hans
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Walter H. (mainziman)
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Nummer des Beitrags: 444
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 11. April, 2003 - 12:10:   Beitrag drucken

o.B.d.A.

a < b < c <-- 2 Seiten sind nie gleich

a := fn-k
b := fn
c := fn+l

mit n ³ 0, k > 0 und l > 0 und k + l > 1 und ganzzahlig

k = l = 1 ist der Trivialfall;
3ecksungleichung:a + b > c

fn-k + fn > fn+l
ich addiere rechts eine Hilfsgröße t, welche positiv sein muß, damit die Ungleichung noch gilt, wenn ich es auf die Art zur Gleichung mache und zeige, daß die Gleichheit nur gilt wenn t negativ ist;

fn-k + fn = fn+l + t

da k > 1 ist ist die linke Seite sicher kleiner als
2 * fn; da l > 1 ebenfalls gilt, ist fn+l sicher größer als 2 * fn und damit die Gleichheit gilt muß t negativ sein, und somit ist die 3ecks-Ungleichung widerlegt und es existiert tatsächlich kein 3eck, das die geforderten Seitenlängen aufweist.
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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