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mineraloge
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 13:28: | 
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Hallo!
Ich brauche nochmal hilfe bei einer Aufgabe.
1. Geben sie die allgemeine Lösung der
DGL y'''-y=0 an.
2. Überprüfen sie, ob
[ln(x-y)+x/(x-y)]dx=x/(x-y)dy
eine exakte DGL ist
Bitte mit Erklärung was man machen muß,
damit ich es auch nachvollziehen kann.
Danke schon mal
André |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 18:11: |
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Hallo mineraloge :
1) Es handelt sich um eine lineare Dgl.
3. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für
die Lösungsfunktion y(t) setzt man an
y(t) = exp(k*t)
und erhält die charakteristische Gleichung
k^3 - 1 = 0 <==> (k-1)(k^2+k+1) = 0
mit den Lösungen
k_1 = 1 , k_2 = (-1 + i*sqrt(3))/2 ,
k_3 = (-1 - i*sqrt(3))/2.
Das führt auf die 3 linear unabhängigen
Lösungen
y_1(t) = e^t ,
y_2(t) = e^(-t/2)*cos(sqrt(3)t/2)
y_3(t) = e^(-t/2)*sin(sqrt(3)t/2)
Prüfe durch Einsetzen !
Die allgemeine Lösung lautet
y(t) = C_1*y_1(t)+ C_2*y_2(t) + C_3*y_3(t).
2) Eine Dgl.
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
heisst exakt g.d.w.
P_y(x,y) = Q_x(x,y)
P_y , Q_x bezeichnen partielle Ableitungen.
Prüfe nach, ob dies erfüllt ist.
mfg
Orion |
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