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Beitrag |
    
Lothar
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 14:16: | 
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Hallo,
Ich ersuche um Hilfe bei der Lösung der Differentialgleichung
erster Ordnung
y´ + y^2 – 1/x^2 = 0
Durch welchen Ansatz finde ich die allgemeine Lösung ?
Dank zum voraus
Lothar |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 16:31: |
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Hi Lothar,
Es handelt sich um eine Riccatische Dgl.
Es geht darum, eine spezielle Lösung zu finden.
Wir versuchen es mit dem Ansatz
y = a / x , worin a eine zu bestimmende Konstante darstellt.
Dies setzen wir zusammen mit y´= .- a / x^2 in die gegebene Dgl. ein
x^2 fällt heraus, und wir erhalten eine quadratische Gleichung in a:
a^2 – a – 1 = 0 ; es genügt, eine der beiden Lösungen zu berücksichtigen,
etwa a = ½ * (1 + wurzel (5)).
Uebrigens ist dieser a-Wert uns wohlbekannt aus Arbeiten zum Thema
„goldener Schnitt“.
Ususgemäss setzen wir als Lösung für die gegebene Dgl. an
y(x) = a / x + 1 / u(x), a ist die vorhin bestimmte Konstante.
Es geht darum, eine allgemeine Lösung der Hilfsfunktion u(x)
zu bestimmen.
Wir gehen mit dem neuen Ansatz in die gegebene Dgl., wobei
y’(x) = - a / x^2 - 1/ u^2 * u ´ zu setzen ist.
Die Dgl. für u lautet (nach Multiplikation beider Seiten mit x^2*u^2):
u^2 * [a^2 – a –1] – x^2 * u ´ + 2 a u x + x ^ 2 = 0
Nun ist aber die eckige Klammer wegen der Definitionsgleichung
für a gleich null und es bleibt die lineare inhomogene Gleichung
x * u´- 2 a u = x übrig.
Wir lösen die homogene Gleichung durch Separation der Variablen:
du / u = 2 a * dx / x , daraus :
u = C * x ^ (2 * a) , C ist eine Integrationskonstante.
Wir suchen eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung
mit Hilfe des einfachen Ansatzes u = r * x , r konst.
Setzt man diesen Ansatz samt u´= r in die inhomogene Gleichung ein,
so kommt:
r = 1 /(1 – 2 a ) = - 1 / wurzel(5)
Die partikuläre Lösung u = [- 1 / wurzel(5)] * x wird zur allgemeinen
Lösung der homogenen Gleichung addiert uns es kommt
u = C * x ^ (2 * a) - [ 1 / wurzel(5)] * x als allgemeine Lösung der
inhomogenen Dgl. für u(x).
Für y(x) entsteht daraus als allgemeine Lösung der gegebenen Dgl:
y = a/x + 1 / [C * x ^ (2 * a) - [ 1 / wurzel(5)] * x ], hierbei ist
a durch ½ * (1 + wurzel (5)) zu ersetzen.
Es empfiehlt sich , bei solchen und ähnlichen Berechnungen zur Kontrolle
Maple oder andere Computeralgebra-Systeme einzusetzen.
Im vorliegenden Fall wird das Resultat bestens bestätigt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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