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Unbestimmtes Integral zu berechnen

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Maik
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 10:54:   Beitrag drucken

Hallo Leute,
wer hat ein Plan um folgende Funktion zu integrieren: f(x)=1/(sin(x)*cos^2(x))
Danke fpür eure Mühen
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Maik
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 10:55:   Beitrag drucken

Korrektur: statt cos^2(x): cos^3(x)
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 13:43:   Beitrag drucken

Maik :

f(x) ist eine rationale Funktion von sin(x) :

f(x) = 1/(sin(x)(1-sin^2(x))).

Substituiere daher (mit t := tan(x/2))

sin(x) = 2t/(1+t^2) ==> dx = 2 dt/(1+t^2)

Man erhält das unbest. Integral mit dem Integranden

g(t) = (1+t^2)^2/[t(t^4-6t^2+1)]

Partialbruchzerlegung ergibt

g(t) = 1/t + 2/(t^2-2t-1) - 2/(t^2+2t-1)

Das lässt sich leicht integrieren und führt
auf ln - und arctanh - Ausdrücke.

have fun

mfg

Orion
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 14:19:   Beitrag drucken

Sorry, das bezog sich auf die unkorrigierte
Aufgabe. Dieselbe Methode funktioniert auch
jetzt :

cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), sin(x) = 2t/(1+t^2)

dx = 2dt/(1+t^2)

ergibt den neuen Integranden

g(t) = (1+t^2)^3/[t(1-t^2)^3]

= 1/t + 1/(1-t)^3-(1/2)/1-t)^2 + 1/(1-t)

- 1/(1+t)^3 +(1/2)/1+t)^2 - 1/(1+t)

(rechne nach !)

Orion
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 05:00:   Beitrag drucken

Hallo :

Das war die Standdardmethode. Dann gibt es aber
noch die "Methode des scharfen Hinsehens":

Schreibe im Zähler 1 = cos^2(x) + sin^2(x),
dann wird der Integrand in

f(x) = 2/sin(2x) + sin(x)/cos^2(x)

zerlegt. Stammfunktionen für die beiden Summanden
sind unmittelbar abzulesen.

Bemerkung zu meiner 1.Zuschrift: Sie bezog sich
Lesefehler !) auf

f(x) = 1/(sin(x)*cos(2x)).

mfg

Orion

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