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Maik
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 10:54: |
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Hallo Leute, wer hat ein Plan um folgende Funktion zu integrieren: f(x)=1/(sin(x)*cos^2(x)) Danke fpür eure Mühen |
Maik
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 10:55: |
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Korrektur: statt cos^2(x): cos^3(x) |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 13:43: |
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Maik : f(x) ist eine rationale Funktion von sin(x) : f(x) = 1/(sin(x)(1-sin^2(x))). Substituiere daher (mit t := tan(x/2)) sin(x) = 2t/(1+t^2) ==> dx = 2 dt/(1+t^2) Man erhält das unbest. Integral mit dem Integranden g(t) = (1+t^2)^2/[t(t^4-6t^2+1)] Partialbruchzerlegung ergibt g(t) = 1/t + 2/(t^2-2t-1) - 2/(t^2+2t-1) Das lässt sich leicht integrieren und führt auf ln - und arctanh - Ausdrücke. have fun mfg Orion |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 14:19: |
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Sorry, das bezog sich auf die unkorrigierte Aufgabe. Dieselbe Methode funktioniert auch jetzt : cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2), sin(x) = 2t/(1+t^2) dx = 2dt/(1+t^2) ergibt den neuen Integranden g(t) = (1+t^2)^3/[t(1-t^2)^3] = 1/t + 1/(1-t)^3-(1/2)/1-t)^2 + 1/(1-t) - 1/(1+t)^3 +(1/2)/1+t)^2 - 1/(1+t) (rechne nach !) Orion |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 05:00: |
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Hallo : Das war die Standdardmethode. Dann gibt es aber noch die "Methode des scharfen Hinsehens": Schreibe im Zähler 1 = cos^2(x) + sin^2(x), dann wird der Integrand in f(x) = 2/sin(2x) + sin(x)/cos^2(x) zerlegt. Stammfunktionen für die beiden Summanden sind unmittelbar abzulesen. Bemerkung zu meiner 1.Zuschrift: Sie bezog sich Lesefehler !) auf f(x) = 1/(sin(x)*cos(2x)). mfg Orion |
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