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Beitrag |
    
Peter Falk (columbooo123)
Junior Mitglied
Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 22:52: | 
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Hallo!
Ich habe folgendes Beispiel gerechnet:
Summe von k=1 bis unendlich
[(-1)^k * (2k+1)] / [k*(k+1)]
Nach Anwendung des Quotientenkriteriums:
[(-1)^(k+1)*(k*(k+1))*(2k+3)]/[(-1)^k *(k+1)* (k+2)*(2k+1)]
Durch Kürzen von (k+1) und (-1)^k mit (k+1) steht:
k*(2k+3) / (k+2)*(2k+3)
Ich habe nun 2k+3 umgeschrieben zu k+1+k+2
Wenn das möglich ist, strebt die Reihe gegen 1/2 und die Reihe ist konvergent.
Nun frage ich euch,ob das alles so richtig gerechnet wurde.
Danke im voraus.
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Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 416
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. März, 2003 - 23:10: |
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Hi,
dir is a klana abschreibfehler passiert:
muß heißen [-k*(2k+3)] / [(k+2)*(2k+1)]
und des strebt nach -1 => also nicht wirklich hilfreich ;)
in dem Fall geht der Nachweis der Konvergenz einfacher:
eine alternierende Reihe, welche eine Folge mit Grenzwert 0 zu Grund liegt, ist nach Satz von Leibnitz konvergent;
LIM[ k->+inf ] (2k+1)/(k*(k+1)) = 0
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Peter Falk (columbooo123)
Junior Mitglied
Benutzername: columbooo123
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 03-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 12:25: |
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Hallo Mainzelmännchen!
Auf das wäre ich gar nicht gekommen, aber warum kann man hier das Quotientenkriterium nicht anwenden? Denn durch das Betragszeichen werden die Werte sowieso positiv!
Interessante Frage von Inspektor Columbo.
Bitte um Antwort... |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1030
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 12:35: |
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Hi Peter
Wie Walter schon sagte strebt [-k*(2k+3)]/[(k+2)*(2k+1)] gegen -1, also der Betrag gegen 1. Und das ist ja gerade das Problem.
Du wirst kein q finden mit 0<q<1 und
[k*(2k+3)]/[(k+2)*(2k+1)]£q, weil deine Folge ja beliebig nahe in 1 herankommt. Also kannst du mit dem Quotientenkriterium hier nichts anfangen!
Übrigens ist deine Reihe auch überhaupt nicht absolut konvergent, von daher kann das Quotientenkriterium eh nicht funktionieren.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1031
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 12:41: |
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Hi Peter
Noch eine Ergänzung bzw. ein Beweis zu meiner Aussage von eben, dass deine Reihe nicht absolut konvergiert. Wir betrachten mal die Absolutbeträge der Folge, d.h. die (-1)^k fallen weg.
Wir schreiben ein bißchen um.
ak:=(2k+1)/[k*(k+1)]
=[k+(k+1)]/[k*(k+1)]
=1/(k+1)+1/k
Also gilt ak>1/k
Und damit können wir ja einfach die harmonische Reihe als Minorante benutzen und die divergiert ja bekanntlich.
MfG
C. Schmidt |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 417
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 10. März, 2003 - 12:53: |
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Hallo Peter (volgo Inspektor Columbo)
sieh Dir zur Hilfe mal das da an:
Facharbeit über den Beweis der Konvergenz einer Abart der harmonischen Reihe
wie es Christian schon sagte, die Reihe ist nicht absolut konvergent; aber konvergent nach Satz von Leibnitz
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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