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andi
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 08:22: |
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hallo! ich stehe etwas auf der leitung! kann mir jemand helfen diese dgl zu lösen?! ich habe momentan keinen schimmer wie ich das mache... DANKE im voraus! |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 09:26: |
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andi : Die Homogene Dgl. y" - y = 0 hat die Fundamentalloesungen e^x und e^(-x). Die allgemeine Loesung der gegebenen Dgl.lautet daher y = w + C_1*e^x + C_2*e^(-x), wobei w eine partikulaere Loesung der inhomogenen Dgl. w" - w = x*sin(x) bezeichnet. Für w macht man den Ansatz w = u*e^x + v*e^(-x) ("Variation der Konstanten") Ueber die Funktionen u(x),v(x) verfügt man zunaechst gemaess (1) u'*e^x + v'*e^(-x) = 0. Dann wird naemlich w' = u*e^x - v*e^(-x) Setzt man (2) u'*e^x - v'*e^(-x) = x*sin(x), so wird w" = u*e^x + v*e^(-x) + x*sin(x) ==> w" - w = x*sin(x) Man loest nun das Gl.System (1),(2) nach u',v' auf : u' = (1/2)*x*e^(-x)*sin(x) v' = - (1/2)*x*e^x*sin(x) womit die Bestimmung von u,v auf Quadraturen zurückgeführt ist. Die Integrale entnimmt man am besten einer Formelsammlung (es geht aber auch mit partieller Integration, falls man die Mühe nicht scheut !). mfg Orion |
Orion (Orion)
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 10:37: |
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Hoppla, da habe ich ein Strichlein übersehen! Die Sache ist eher einfacher : mit z := y' haben wir die Dgl. 1.Ordnung z' - z = x*sin(x). Allgemeine Loesung : z = u + C*e^x mit u'- u = x*sin(x) Ansatz : u(x) = v(x)*e^x ==> v'(x) = x*e^(-x)*sin(x). Damit ist alles auf Quadraturen reduziert. mfg Orion |
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