Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Dgl y'' - y' = x * sin(x)...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Differentialgleichungen » Dgl y'' - y' = x * sin(x) « Zurück Vor »

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

andi
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 08:22:   Beitrag drucken

hallo!
ich stehe etwas auf der leitung! kann mir jemand helfen diese dgl zu lösen?! ich habe momentan keinen schimmer wie ich das mache...
DANKE im voraus!
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 09:26:   Beitrag drucken

andi :

Die Homogene Dgl.

y" - y = 0

hat die Fundamentalloesungen e^x und e^(-x).
Die allgemeine Loesung der gegebenen Dgl.lautet daher

y = w + C_1*e^x + C_2*e^(-x),

wobei w eine partikulaere Loesung der inhomogenen
Dgl.

w" - w = x*sin(x)

bezeichnet. Für w macht man den Ansatz

w = u*e^x + v*e^(-x)

("Variation der Konstanten")

Ueber die Funktionen u(x),v(x) verfügt man
zunaechst gemaess

(1) u'*e^x + v'*e^(-x) = 0.

Dann wird naemlich

w' = u*e^x - v*e^(-x)

Setzt man

(2) u'*e^x - v'*e^(-x) = x*sin(x),

so wird

w" = u*e^x + v*e^(-x) + x*sin(x)

==> w" - w = x*sin(x)

Man loest nun das Gl.System (1),(2) nach u',v'
auf :

u' = (1/2)*x*e^(-x)*sin(x)

v' = - (1/2)*x*e^x*sin(x)

womit die Bestimmung von u,v auf Quadraturen
zurückgeführt ist. Die Integrale entnimmt man
am besten einer Formelsammlung (es geht aber
auch mit partieller Integration, falls man die
Mühe nicht scheut !).

mfg

Orion
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Orion (Orion)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 10:37:   Beitrag drucken

Hoppla, da habe ich ein Strichlein übersehen!

Die Sache ist eher einfacher : mit z := y'
haben wir die Dgl. 1.Ordnung

z' - z = x*sin(x).

Allgemeine Loesung :

z = u + C*e^x mit u'- u = x*sin(x)

Ansatz : u(x) = v(x)*e^x

==> v'(x) = x*e^(-x)*sin(x).

Damit ist alles auf Quadraturen reduziert.


mfg

Orion

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page