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Beitrag |
    
Beat
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 13:22: | 
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Hallo
Ich habe eine Dgl. 2.Ordnung zu lösen, für die
ich keinen Lösungsansatz finde.
Die Gleichung mit Anfangsbedingungen lautet :
y´ * y´´- y´´ - x / (1 –x ^ 2 )^2 = 0
Anfangsbedingungen: y´(0) = 0 , y(0) = 1 .
Für jede Hilfe danke ich im voraus
MfG
Beat |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 14:18: |
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Beat :
Prüfe nach, dass sich die Dgl. folgendermassen
schreiben laesst :
(d/dx){(y' - 1)^2 - 1/(1 - x^2)} = 0
==> y' = 1 ± 1/sqrt(1 - x^2) + C
==> y = x ± arcsin(x) + C*x + C_0
<==> y = C_0 + C_1*x ± arcsin(x).
Prüfe dies durch Einsetzen. Die Koeffizienten
C_0,C_1 ergeben sich aus den Anfangsbedingungen.
mfg
Orion |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 14:24: |
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Hi Beat,
Der allererste Schritt ist naheliegend:
Jeder Summand lässt sich einzeln integrieren, wobei das Integral
int [x / (1- x ^ 2) ^ 2 * dx] durch die Substitution x ^ 2 = u
ermittelt wird :
½ int [1 / (1 - u) ^ 2 * du] = ½ * 1 / (1-u ) = ½ * 1 / (1 - x ^ 2 ).
Resultat der gliedweisen Integration
½ * ( y’ ) ^ 2 – y’ - ½ * 1 / ( 1- x ^2 ) = c …………………………..(1)
Wegen der Anfangsbedingung y `(0) = 0 ist c = - ½ zu setzen.
Um die verbleibende Dgl. erster Ordnung
( y’ ) ^ 2 – 2 * y’ - 1 / ( 1- x ^2 ) = - 1 oder
( y’ ) ^ 2 – 2 * y’ = x ^ 2 / ( 1- x ^ 2 )
zu lösen, führen wir die Substitution z = x – y durch; es kommt
wegen y = x – z , y’ = 1 – z’ :
1 - 2 z’ +(z’)^2 - 2 + 2 z’ - x ^ 2 / ( 1- x ^ 2 ) = 0 oder:
(z’) ^ 2 = 1 + x ^ 2 / ( 1- x ^ 2 ) = 1 / (1 - x ^ 2 )
z ` = wurzel ( 1 / (1 - x ^ 2 ) )
z = arcsin(x) + k , damit wird
y = x – z = x - arcsin(x) – k ; wegen y(0) =1 muss k = 1 gelten.
Die gesuchte Lösung ist somit
y = x - arcsin(x) + 1
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MfG
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 14:38: |
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Hi Orion,
Zeitlicher Abstand fast wie bei Skirennen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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