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Primzahlzwillinge

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Rudolf
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Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Januar, 2002 - 16:40:   Beitrag drucken

Hallo!
Kennt jemand eine Literaturstelle, in der folgender Satz bewiesen wird:

6n±1 ist genau dann ein Primzahlzwilling, wenn die Gleichung 6xy±x±y=n keine Lösungen für x,y aus |N besitzt.

Den Beweis habe ich, ich hätte nur gerne gewußt, ob bzw. wer das schon vor mir bewiesen hat.
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cornelius
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 18:50:   Beitrag drucken

ich kenn keine literaturstelle, aber das hat nicht allzuviel zu sagen :)

aber ich verstehe nicht so ganz die aussage deines satzes. bsp:
n=1, 6n+-1 = 5 und 7
dürfen nun beide gleichungen (6xy+x+y=n und 6xy-x-y=n) keine lösungen haben? oder nur eine von ihnen?
oder wie? :)
was ist mit x=0,y=1? oder meinst du nur die positiven zahlen?
was ist aber in diesem fall mit n=4 (6n+-1 = 23 und 25)? was für eine lösung gibt es da ausser, wenn x oder y = 0 ist und die andere zahl 4?

gruß, ein neugieriger
cornelius
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Rudolf
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 09:26:   Beitrag drucken

Hallo!
Es ind eigentlich 3 Gleichungen, die keine Lösungen besitzen dürfen, da man alle Vorzeichen beliebig kombinieren muß, also
6xy+x+y=n
6xy-x-y=n
6xy+x-y=n
Die vierte Möglichkeit 6xy-x+y=n ist identisch mit der dritten Gleichung, da nur x und y vertauscht sind.
Wird nur eine dieser Gleichungen erfüllt, dann handelt es sich um keinen Primzahlzwilling.
Außerdem sind für x und y als Lösung nur natürliche Zahlen zugelassen, also nicht die Null.
Für n=4 gibt es keinen Primzahlzwilling, da
x=1,y=1 Lösung der Gleichung 6xy-x-y=4 ist.
Alternativ dazu könnte man auch nur zwei Gleichungen angeben und Lösungen aus der Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, jedoch ohne die Null zulassen:
6xy+x+y=n
6xy+x-y=n
Als Lösungen kommen dann ohnehin nur Wertepaare für x und y in Frage, die gleiches Vorzeichen haben.
Übrigens, der erste Primzahlzwilling 3-5 ist eine Ausnahme und 2-3 hat sowieso eine Sonderstellung.
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cornelius
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 19:38:   Beitrag drucken

ich hab vorhin meinen zahlentheorie-prof (hofmeister heisst er, ist recht fähig) gefragt - er kannte den satz nicht. ist doch schonmal was, wo dieser ja schon in 1-2 jahren in rente geht... da sollte er doch davon gehört haben, falls es ihn gibt?!

gruß, cornelius
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 21:28:   Beitrag drucken

Netter Scherz, Rudolf! Erklär mal bitte für n = 11.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 21:56:   Beitrag drucken

Sorry, n = 11 ist klar; ich meine: Erklär mal bitte für n = 26.

Z.
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Rudolf
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 07:44:   Beitrag drucken

Für Zaph:

Ist echt kein Scherz!
6xy+x-y=26
x=1,y=5
6*1*5+1-5=26
Es gibt eine Lösung, daher für n=26 kein Primzahlzwilling.
6n+1=157 und 6n-1=155 (natürlich nicht prim)
Was ist da unklar?

Und für Cornelius:
Wenn sich Prof. Hofmeister für den Beweis interessiert, laß es mich wissen, dann mach ich mir die Mühe und schreib ihn auf. ( Wo ist er Professor, an einer Uni? )
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 17:57:   Beitrag drucken

Entschuldige, der ist mir durch die Lappen gegangen. Muss trotzdem noch ein paar Beispiele rechnen, ehe ich das glaube.

Wie kompliziert ist denn dein Beweis? (Wieviele Seiten?)

Hast du schon mal hier gefragt? Ich denke, dass sich da mehr Spezialisten tummeln.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 18:18:   Beitrag drucken

Ich glaube dir nun! Habe es gerade selber beweisen können!

Aber wirklich nett, dein Ergebnis, und auf den ersten Blick ziemlich verblüffend, wie ich finde!

Z.
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Rudolf
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Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 08:26:   Beitrag drucken

für Zaph:
Mein Beweis ist eigentlich ganz kurz. Kommt aber darauf an, was man als trivial oder bekannt voraussetzt, wie das bei Beweisen eben so ist. Bis auf die Axiome geht ja niemand zurück.

Alle Primzahlen >3 haben die Form 6n+1 oder 6n-1.
Läßt sich eine Zahl 6n+1 faktorisieren, dann läßt sie sich als Produkt in der Form (6x+1)*(6x+1) oder (6x-1)*(6x-1) schreiben. Existiert keine solche Faktorisierung, dann ist 6n+1 Primzahl.
Läßt sich eine Zahl 6n-1 faktorisieren, dann läßt sie sich nur als Produkt (6x+1)*(6n-1) schreiben. Existiert keine solche Faktorisierung, dann ist 6n-1 Primzahl. Bei Primzahlzwillingen ist 6n+1 und 6n-1 prim. Das führt auf meine Gleichung.
Ich habe dazu auch noch einen recht interessanten Algorithmus gefunden, wie man prüfen kann, ob Lösungen existieren oder nicht.

Ich nehme an, dein Beweis ist ähnlich.
Was mich verblüfft ist, dass es so einfach ist und nirgends in der Literatur angeführt wird.

Gruß, Rudolf
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 11:09:   Beitrag drucken

Klar, so ähnlich habe ich es auch gemacht. [Du meintest natürlich (6x + 1)*(6y + 1), (6x - 1)*(6y - 1) bzw. (6x + 1)*(6y - 1)]

Anhand der Zeitdifferenz meiner beiden gestrigen Postings siehst du, dass es ja wirklich nicht so schwer war. Das ist wohl der Grund, dass so etwas in einem Zahlentheorie-Lehrbuch bestenfalls unter "Übungsaufgaben" zu finden ist.

Z.
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Rudolf
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Veröffentlicht am Samstag, den 26. Januar, 2002 - 14:46:   Beitrag drucken

Hi Zaph!
Du meinst:
Das ist wohl der Grund, dass so etwas in einem Zahlentheorie-Lehrbuch bestenfalls unter "Übungsaufgaben" zu finden ist.
Mag sein, aber ganz trivial ist es wohl auch nicht. Immerhin ergibt sich daraus ein Verfahren um rasch Primzahlen und Primzahlzwillinge zu finden, ohne dass man Zahlen auf ihre Primalität testen muss.
Setze ich xy=1, kann nur x=1 und y=1 gelten. Die Gleichungen liefern dann für n die Werte 4,6,8. xy=2 liefert als kleinsten Wert n=9. Somit ergeben sich für n=1,2,3,5,7 Primzahlzwillinge. Wenn man das fortsetzt, erhält man letztlich der Reihe nach alle n, die Primzahlzwillinge ergeben. Ein Siebverfahren also, das aber nicht viel Aufwand benötigt.
Vielleicht schafft man es auch irgendwie zu beweisen, dass zu jedem M ein n>M existiert, für das diese Gleichungen keine Lösungen besitzen. Immerhin wäre das dann der Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

[ähm.. natürlich sind bei den Faktorisierungen immer (nicht notwendigerweise) unterschiedliche Vielfache von 6 gemeint gewesen. Das kommt vom schnell mal Hinschreiben, wenn man gleich weg muss...]

Gruß, Rudolf
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Montag, den 28. Januar, 2002 - 23:14:   Beitrag drucken

Hallo Rudolf, war die letzten Tage nicht da, antworte aber im Laufe der nächsten Tage noch mal.
Gruß Z.
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Rudolf
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Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 07:45:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich konnte die Bedingung mittlerweile auf eine einzige Gleichung reduzieren:

6n±1 ist genau dann ein Primzahlzwilling mit p>3, wenn die Gleichung |6xy+x+y|=n keine Lösungen x,y aus |Z\{0} besitzt.
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 16:51:   Beitrag drucken

Hallo Rudolf,
hier bin ich noch einmal. Ich will deine Beobachtung nicht abwerten und deinen Enthusiasmus nicht bremsen, aber wenn es so einfach wär, "irgendwie zu beweisen, dass zu jedem M ein n>M existiert, für das diese Gleichungen keine Lösungen besitze", dann wäre das Problem heute nicht mehr ungelöst.

Zudem ist mit

((x+1)(y+1) - 1 - n) ((x+1)(y+1) + 1 - n) = 0

ebenfalls eine Polynomgleichungen gegeben, die ganz offensichtlich genau dann keine Lösung in den positiven ganzen Zahlen besitzt, wenn (n-1,n+1) ein Primzahlzwilling ist.

Kann sein, dass deine Siebmethode effektiver ist als andere. Aber um wirklich große Primzahlzwillinge zu finden (Größenordnung 2^1000) eignet sie sich leider auch nicht.

Schönen Gruß

Zaph
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Rudolf
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Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 22:35:   Beitrag drucken

Hallo Zaph!

Ich will deine Beobachtung nicht abwerten und deinen Enthusiasmus nicht bremsen, aber wenn es so einfach wär, "irgendwie zu beweisen, dass zu jedem M ein n>M existiert, für das diese Gleichungen keine Lösungen besitze", dann wäre das Problem heute nicht mehr ungelöst.

Ich habe nicht behauptet, dass es einfach ist, aber eine Möglichkeit, das Problem anzugehen. Immerhin weiss man recht gut über die Lösungen von Pell'schen Gleichungen und elliptischen Kurven bescheid. Diese Gleichung sieht doch auch nicht komplizierter, sogar eher einfacher aus. Ausserdem lässt sich leicht beweisen, dass es beliebig grosse n gibt, für die jede einzelne der Gleichungen 6xy+x-y=n, 6xy+x+y=n und 6xy-x-y=n keine Lösung besitzt. Ist eben eine Idee, wie es vielleicht gehen könnte.

Kann sein, dass deine Siebmethode effektiver ist als andere. Aber um wirklich große Primzahlzwillinge zu finden (Größenordnung 2^1000) eignet sie sich leider auch nicht.

Das habe ich auch nicht vor. Wer braucht die denn? Es gilt endlich einmal die alten ungelösten Probleme aufzuarbeiten und nicht etwa p auf ein paar Millionen Stellen zu berechnen. Wenn Wiles nicht an Fermat geglaubt hätte, wäre dieser Satz immer noch unbewiesen. Es würde mir schon reichen, einen Algorithmus angeben zu können, der zeigt, dass man zu jedem m, das keine Lösung ist, stets einen noch grösseren Wert n konstruieren kann, der ebenfalls keine Lösung ist.
*ggg*
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 10:39:   Beitrag drucken

Was meinst du mit "wer braucht die denn"?

Stell dir vor, du gehst durch die Wüste und triffst einen Löwen. Der sagt "Nenne mir einen Primzahlzwilling, der größer als 2^1000 ist oder ich fresse dich." Dann brauchst du das!

Viel Glück ;-)
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Rudolf
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 12:22:   Beitrag drucken

Hi Zaph!
Na gut, ich nenne dem Löwen einen Primzahlzwilling, sagen wir so um 2^1001 herum. Wenn ich nächstesmal durch die Wüste gehe ist der Löwe wieder da und will einen grösser als 2^1002 wissen. Da wäre ich doch gerne in der Lage zu sagen: 'Ich weiss, dass es ihn geben muss. Und wenn du etwas Geduld hast, rechne ich ihn auch aus.'
Mit der Goldbach'schen Vermutung ist das z.B. etwas anderes. Natürlich bringt es meiner Meinung nach auch nichts, Goldbachpartitionen bis zu 10^irgendwas zu berechnen, solange man welche findet. Erfolgreich wäre man aber, wenn man auf eine Zahl stößt, die keine besitzt.

Gruß, Rudolf
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Zaph (Zaph)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 13:38:   Beitrag drucken

Hallo Rudolf, wenn du meinst, den Löwen mit einer Existenzaussage beschwichtigen zu können...

Und selbst wenn du weißt, dass es immer einen größeren Primzahlzwilling geben muss, wie willst du ihn dann finden?

Große Primzahlen (Größenordnung 2^1000) finden übrigens Anwendung in der Kryptographie. Das hätte vor 40 Jahren auch noch niemand geglaubt. Für große Primzahlzwillinge oder Goldbachpartitionen kenne ich keine Anwendung - aber wer weiß, vielleicht irgendwann!

Die Frage nach großen Primzahlzwillingen und die Goldbachsche Vermutung sind m. E. ebenso wie der große Fermatsche Satz für sich genommen relativ uninteressant. Das grandiose beim Fermatschen Satz sind die Methoden, die zu seinem Beweis entwickelt wurden.

Natürlich fragt ein echter Mathematiker nie, ob das, was er macht, anwendbar ist. Aber ich denke, hierin sind wir einer Meinung ;-)

Z.
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Kay Schönberger (Kay_S)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 15:21:   Beitrag drucken

Hi,

Ein interessanter Primzahlzwilling ist z. B.

141955329 * 225267 ± 1 (immerhin 7615 Stellen),

meint ihr nicht auch?...

Gruß,
Kay S.
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cornelius
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Februar, 2002 - 10:15:   Beitrag drucken

http://www.utm.edu/research/primes/lists/top20/twin.html

hier stehen ein paar hohe primzahlzwillinge und noch eine gleichung :)

Theorem: (Clement 1949)
The integers n, n+2, form a pair of twin primes if and only if
4[(n-1)!+1] = -n (mod n(n+2)).
Nice--too bad it is of virtually no practical value!

gruß cornelius

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