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wvVaron (Wvvaron)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Januar, 2002 - 22:52: | 
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Ich wollte mal gucken was die "Denkfabrik" (das seid ihr alle) zu folgendem Problem sagt:
Ist es möglich im Kopf nach einem Algorithmus eine Wurzel zu ziehen einer x-beliebigen Zahl? (deren Ergebnis dann gerade ist)
Also z.B. auch von 3381306201 ???
Wenn ja, dann sagt mir wie ihr das macht.
Es soll Leute geben, die sowas können! Ein Trick oder Genialität ?
mfg thnx |
Christian
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 24. Januar, 2002 - 15:17: |
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Das würd mich auch mal interessieren wie sowas geht;)
War ja jetzt grad erst im Fernsehn bei dieser Gripsshow. Da hat einer aus ner 111.111stelligen Zahl die 1111. Wurzel im Kopf gezogen innerhalb kürzester Zeit ;) |
Master of Disaster
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 11:28: |
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Vielleicht berrechnen die Leute das mit dem Iterationsverfahren?
muss aber sehr stressig sein!!
mfg
Master of Disaster |
Justin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 12:07: |
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Hallo Hallo,
es gibt nun mal Leute, die brauchen einen Taschenrechner, um 2 und 4 zu addieren; und es gibt Leute, die sind Rechengenies und können in wenigen Sekunden die fünfte Wurzel aus einer fünfstelligen Zahl ziehen.
Das hat einfach damit etwas zu tun, dass die sich ständig mit Zahlenspielereien und -kombinationen befasst haben und daher gewisse Algorithmen verinnerlicht haben, die für Otto Normalbürger einfach zu viel sind.
Zum Ziehen einer Wurzel aus einer großen Zahl ohne Taschenrechner gibt es einen Algorithmus, den ich hier mal aufgeführt habe, anhand eines einfachen Beispiels und der von Varon genannten Zahl. Für den Einsteiger nur schwer mühsam und mit Probieren nachvollziehbar, für die Rechenkünstler ein Klacks :-)
Der Algorithmus leitet sich ab von den binomischen Formeln
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a-b)² = a² - 2ab + b²
(a+b)(a-b) = a² - b²
So kann man ja Produkte wie 19*21 oder 47*53 ganz schnell ausrechnen, indem man rechnet:
(20-1)*(20+1) = 20² - 1² = 400 - 1 = 399
(50-3)*(50+3) = 50² - 3² = 2500 - 9 = 2491
Zum Wurzelziehen zieht man nun (a+b)² = a² + 2ab + b² heran.
Zunächst ein einfaches Beispiel:
Wurzel aus 12321
Man versucht schrittweise, jede Stelle auszurechnen und fängt bei der größten an.
Dazu teilt man die Zahl zunächst in Zweierblöcke:
1 23 21
Aus der Anzahl der Block erkennt man, wieviele Stellen das Endergebnis haben muss, in diesem Falle also drei.
Und man beginnt nun mit dem ersten Block, der nur aus einer 1 besteht.
Welche Quadratwurzel passt in den Wert 1? Genau! 1
An diese 1 hängt man nun noch soviele Nullen, wie noch weiter Blöcke vorhanden sind.
Also => 100
1 23 21 = 100
Und nun zieht man das Quadrat von 100 von der Gesamtzahl ab.
1 23 21 = 100
-1 00 00
--------
...23 21
(Die Punkte dienen nur der besseren Formatierung)
Um nun zur binomischen Formel zu kommen:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Man hat nun erst einmal ein a ermittelt.
Von unserem gegebenen (a+b)² in Form der 12321 wurde a² abgezogen.
Es bleibt also der Rest-Ausdruck 2ab + b² = b*(2a+b) = 2321
Nun muss als nächstes der Zehner ermittelt werden. Und von hier an gilt es nun diesen eben erwähnten Rest-Ausdruck zu berücksichtigen.
Es muss nun also der Zehnerwert gefunden werden, der mit (2*a+b) multipliziert maximal in 2321 passt - aber nicht größer sein darf.
1 23 21 = 100
-1 00 00
--------
...23 21
=> (2*100 + 10)*10 = 2100 => passt in 2321.
=> (2*100 + 20)*20 = 4400 => schon zu groß
Also:
1 23 21 = 100 + 10
-1 00 00
--------
...23 21 => (2*100 + 10)*10 = 2100
-..21 00
--------
....2 21
Und nun bestimmt man den Einer.
1 23 21 = 100 + 10 + 1
-1 00 00
--------
...23 21 => (2*100 + 10)*10 = 2100
-..21 00
--------
....2 21 => (2*(100+10) + 1)*1 = 221 => passt genau!
....2 21
--------
.......0
Also ist die Wurzel aus 12321 gleich 111.
Hier nun das ganze in Kurzform für die Zahl, die von Varon genannt wurde:
33 81 30 62 01 = 50000 + 8000 + 100 + 40 + 9
25 00 00 00 00
--------------
8 81 30 62 01
-8 64 00 00 00 (2*50000 + 8000)*8000
---------------
...17 30 62 01 (2*(58000) + 100)*100
...11 61 00 00
---------------
....5 69 62 01 (2*(58100) + 40)*40
....4 64 96 00
---------------
....1 04 66 01 (2*(58140) + 9)*9
....1 04 66 01
---------------
.............0
Also: WURZEL(3381306201) = 58149
Tja, für Kopfrechengenies alles kein Problem :-)
Schönen Tag noch
Justin |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Freitag, den 25. Januar, 2002 - 14:51: |
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Die Leute die so etwas machen, haben oft ein seltenes optisches Gedächtnis. Man nennt sie Eidetiker. Sie können sich zum Beispiel eine Buchseite aufschlagen, kurz ansehen, das Buch schließen, und die Seite aus dem Gedächtnis 'lesen'. Und beim Rechnen ersparen sie sich das Papier....
Viele Rechnungen lassen sich aber auch durch gewisse Tricks ausführen, die nach überraschend kurzer Zeit zum Ergebnis führen.
Eine Multiplikation von mehrstelligen Zahlen z.B. rechnet ein Normalverbraucher, indem er mit jeder Stelle multipliziert und zum Schluß alles addiert. Man muß sich weniger merken, wenn man jeden Wert, den die nächste Stelle liefert, gleich addiert.
Auch mit Moduloarithmetik läßt sich vieles einfacher rechnen. Bestimmt man von den Zahlen ihre Reste bei Division durch die Primzahlen, kann man durch Rechnung mit diesen Resten das Ergebnis viel einfacher erhalten. Durch die Reste bei Division durch die Primzahlen 2,3,5,7,11 ist eine Zahl bereits im Zahlenraum von 1 bis 2310 eindeitig bestimmt. Und für die Restbestimmung gibt es wiederum viele Tricks... |
wvVaron (Wvvaron)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 11:17: |
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Danke! Wie immer. Für jedes Problem gibt es eine Lösung. Der Algorithmus von Justin ist echt super.
Der Rest ist wahrscheinlich nur Übung. Jetzt ist mir auch klar, das der bei der Gripsshow keinen Rechner, sondern 'nen großen Block Papier im Kopf hat. ;-)
thnx, mfg, Varon |
Rudolf
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 22:56: |
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Hallo wvVaron und alle Betroffenen!
"Der Algorithmus von Justin ist echt super..."
Da sieht man wieder, was der heutigen Jugend entgeht! Wir haben in der Schule noch Wurzelziehen (mit Papier und Bleistift, genau nach dem geschilderten Algorithmus) gelernt, sogar die Kubikwurzel. Das hat damals jeder Gymnasiast können müssen. Später haben wir dann zum Multiplizieren(!) und Wurzelziehen Logarithmentafeln (12-stellige) verwenden dürfen. Computer? Nur etwas für die Wissenschaft. Rechenmaschinen gabs schon, allerdings nur zum Addieren - mechanische. Und für die Ingenieure die Rechenschieber; haben viel gekonnt diese Dinger, wenn man damit umgehen konnte, ausser addieren. Und wenn man dran denkt, dass das alles nicht mal 1/2 Jahrhundert her ist!
Also dann Gruß, und nicht das händische Rechnen verlernen, falls die Computer einmal zum Streik aufrufen sollten. |
Allmut
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 23:32: |
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Lieber Rudolf,
Du sprichst mir aus der Seele!
Meine Schüler erkennen nicht einmal Wurzeln aus Quadratzahlen, wie Ö225. Das ist schade!
Gruß A. |
Fischkopp
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Februar, 2002 - 20:46: |
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Hallo Allmut,
sagtest du nicht, deine Schüler wären max. 6. Klasse?
- bin weiß der Geier nicht dafür, die lieben Kleinen so lange wie möglich zu schonen, bloß ich finde, irgendwo müssen Prioritäten gesetzt werden.
Sollen die alles auf einmal beherrschen?
Ich denke, die haben in Klasse 6 genügend mit den ggT, kgV, Primzahlen und letztendlich den Bruchzahlen, zu tun.
Solange die Quadratwurzeln erst im 9.Schuljahr behandelt werden, reicht es doch, die Quadratbildung natürlicher Zahlen und ihre Umkehrung in Klasse 8, vielleicht frühestens in Klasse 7, durchzunehmen.
-
Man könnte natürlich anders argumentieren und dir ganz frech ins Gesicht sagen: "Wenn sie es nicht können, dann bring es ihnen doch einfach bei, damit sie es anschließend können."
Ich habe keine Ahnung, wieviel Raum ein Lehrplan von der zeitlichen Einteilung her dafür zulässt, aber ich glaube, du wirst dann feststellen, dass gerade dafür dann kein Platz mehr im Schuljahr ist, weil die Grundlagen fehlen.
Woran liegt das?
Viele Schüler müssten viel besser Kopfrechnen beherrschen, also z.B. Aufgaben wie 78*37 dürften kein Problem sein; Ich kann mich noch erinnern, dass ich die Grundlage, wie man so etwas im Kopf "vernünftig" durch Zerlegung rechnet, damals erst in Klasse 8 eingesehen habe, als es um das Multiplizieren zweier Summen ging:
(a+b)*(c+d)=... bzw. (a+b)*(c-d)=...
Ich denke, dass damit die Grundschulen verstärkt gefordert sind, ich erinnere mich noch an dieses Wettkampfspielchen "Rechenkönig", ist bestimmt fast allen hier ein Begriff. Ich weiß es nicht, ob es so ist, aber kann mir nicht vorstellen, dass etwa von den letzten zehn, die bis zum Schluss durchgehalten haben, jemand Schwierigkeiten hätte, die Quadratzahlen z.B. bis 25² auswendig zu lernen.
Bei denjenigen aber, die das nicht können, hätte verstärkt darauf geachtet werden müssen. Ich habe keine Ahnung von Versetzungsrichtlinien überhaupt und von der Grundschule schon gar nicht, aber ich denke, dass ein Schüler, der nicht fehlerfrei die Zahlen aus der Menge {2..10} mit denjenigen aus der gleichen Menge multiplizieren kann (also quasi das "kleine Ein-mal-eins"), überhaupt nicht aus der Grundschule entlassen werden darf.
Ich wär letztens fast hintenrübergefallen, wenn es nicht so bitter traurig gewesen wäre, ich habe es gar nicht glauben können:
Mir ist letztens eine Schülerin der 6.Klasse begegnet, die nicht wusste, wieviel 100:5 ist.
Auch mit 4*3 hatte sie Unsicherheiten: mal sagte sie 12, ein andermal 15 oder 16.
Und das ist nicht nur schade:
Das DARF nicht sein.
Frage an wvVaron:
Dürfte man deiner Vorgabe nach den Radikanden während des Kopfrechnens ansehen oder nicht?
Würde zusätzliche Schwierigkeit bedeuten, wenn man erstmal den Radikanden auswendig lernen müsste.
Dabei setzte ich voraus, dass mit "deren Ergebnis dann gerade ist) " gemeint ist, die Wurzel aus einer Zahl zu ziehen, die das Quadrat einer natürlichen Zahl ist.
Solange ich wuesste, dass eine natürliche Zahl herauskommen muss, würde ich auf jeglichen "komplizierten" Algorithmus verzichten diesen einfachen vorschlagen:
Zahl von rechts in Zweier-Ziffernblöcke aufteilen
abschätzen, (also hier 33*10^8), abschätzen, welche Zahl man quadrieren muss, um die Zahl zu treffen, (also hier zwischen 5*10^4 und 6*10^4, aber näher an letzterer, also z.B. 5.8*10^4)
und dann solange probieren, bis man dran ist.
Kann natürlich eine Weile dauern, bis man auf das Ergebnis kommt, weil man die Zahl im Kopf multiplizieren muss. Aber ich denke, dass es mit Hilfe der binomischen Formeln machbar ist. |
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