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Dgl.2.Ordnung mit variablen Koeffizie...

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Karl
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 15:56:   Beitrag drucken

Hallo,

Für einen Lösungsansatz für die untenstehende Dgl. 2. Ordnung
finde ich beim besten Willen keine tauglichen Schritte !
Die Gleichung lautet :
y’’ + y ’ tan (x) + y cos^2 (x ) = 2 e^sin(x) * cos^2 (x )
Gesucht wird die allgeneine Lösung sowie diejenige mit
Y(0) = 1 , y’(0) = 0.
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

MfG Karl
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 22:22:   Beitrag drucken

Hi Karl,

Ein tauglicher Ansatz ist der folgende:
Wir führen mit der Substitution t = sin x eine neue unabhängige Variable t ein.
Die Ableitungen nach t seinen mit ° bezeichnet.
Für die erste und zweite Ableitung y` und y`` von y = y(x) nach x findet man
leicht:
y ` = dy / dx = dy /dt * dt /dx = y° * cos x
y `` = y°° * (cos x) ^ 2 - y ° * sin x

Setzen wir dies in die gegebene Dgl. ein, so trennt sich die Spreu vom Weizen
sehr schnell, und es entsteht eine ganz einfache Gleichung mit Ableitungen nach t :
y°° * (cos x ) ^ 2 - y° * sinx + y° * sinx + y * (cos x ) ^ 2 = 2* e ^ t * (cos x ) ^ 2
(cos x ) ^ 2 hebt sich weg ; es bleibt:
y°°(t) +y°(t) = 2 * e ^ t, eine inhomogene Dgl. zweiter Ordnung für die unbekannte
Funktion y = y(t).
Wir lösen zuerst die homogene Gleichung
y°°(t) +y°(t) = 0 mit den bekannten Methoden und finden als allgemeine Lösung mit
A und B als Integrationskonstanten:
y = A * cos t + B * sin t
Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl zu finden, machen wir ususgemäss
den Ansatz
y = K*e^t ; wir finden K = 1 und können nun die allgemeine Lösung der inhomogenen
Gleichung anschreiben, nämlich:
y(t) = A cos t + B sin t + e ^ t.
Wenn wir die Substitution rückgängig machen, sind wir am Ziel :
y(x) = A cos ( sin x ) + B sin (sin x ) + e ^ (sin x )
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Wertet man die Anfangsbedingungen aus, so kommt A = 0 , B = - 1
für die gesuchte partikuläre Lösung.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Karl
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Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 14:48:   Beitrag drucken

Hallo H.R.Moser,megamath

Ich danke Dir für Deine Lösung der schwierigen Dgl.
Ich wäre nie auf eine solche Lösungsidee gekommen.
Gratulation und nochmals besten Dank

Karl

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