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Karl
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 15:56: |
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Hallo, Für einen Lösungsansatz für die untenstehende Dgl. 2. Ordnung finde ich beim besten Willen keine tauglichen Schritte ! Die Gleichung lautet : y’’ + y ’ tan (x) + y cos^2 (x ) = 2 e^sin(x) * cos^2 (x ) Gesucht wird die allgeneine Lösung sowie diejenige mit Y(0) = 1 , y’(0) = 0. Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar. MfG Karl |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Januar, 2002 - 22:22: |
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Hi Karl, Ein tauglicher Ansatz ist der folgende: Wir führen mit der Substitution t = sin x eine neue unabhängige Variable t ein. Die Ableitungen nach t seinen mit ° bezeichnet. Für die erste und zweite Ableitung y` und y`` von y = y(x) nach x findet man leicht: y ` = dy / dx = dy /dt * dt /dx = y° * cos x y `` = y°° * (cos x) ^ 2 - y ° * sin x Setzen wir dies in die gegebene Dgl. ein, so trennt sich die Spreu vom Weizen sehr schnell, und es entsteht eine ganz einfache Gleichung mit Ableitungen nach t : y°° * (cos x ) ^ 2 - y° * sinx + y° * sinx + y * (cos x ) ^ 2 = 2* e ^ t * (cos x ) ^ 2 (cos x ) ^ 2 hebt sich weg ; es bleibt: y°°(t) +y°(t) = 2 * e ^ t, eine inhomogene Dgl. zweiter Ordnung für die unbekannte Funktion y = y(t). Wir lösen zuerst die homogene Gleichung y°°(t) +y°(t) = 0 mit den bekannten Methoden und finden als allgemeine Lösung mit A und B als Integrationskonstanten: y = A * cos t + B * sin t Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl zu finden, machen wir ususgemäss den Ansatz y = K*e^t ; wir finden K = 1 und können nun die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung anschreiben, nämlich: y(t) = A cos t + B sin t + e ^ t. Wenn wir die Substitution rückgängig machen, sind wir am Ziel : y(x) = A cos ( sin x ) + B sin (sin x ) + e ^ (sin x ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Wertet man die Anfangsbedingungen aus, so kommt A = 0 , B = - 1 für die gesuchte partikuläre Lösung. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
Karl
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Januar, 2002 - 14:48: |
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Hallo H.R.Moser,megamath Ich danke Dir für Deine Lösung der schwierigen Dgl. Ich wäre nie auf eine solche Lösungsidee gekommen. Gratulation und nochmals besten Dank Karl |
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