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Beitrag |
    
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 15:36: | 
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Man löse die Differentialgleichung
Y´ = (x-y) / (x+y) mit y(1)=1,
indem man z(x) = 1/x * y(x) als neue unbekannte Funktion einführe. Zunächst sei das Problem für z zu lösen und dann gebe man das gesuchte Y an!
Danke! |
Beach
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 17:00: |
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dy/dx = (x-y) / (x+y) |*(x+y)dx
(x+y)dy = (x-y)dx |+(y-x)dx
(y-x)dx + (y+x)dy = 0
diese Dgl. ist exakt, denn mit P=y-x und Q=y+x gilt
¶P/¶y = ¶Q/¶x,
daher lässt sie sich unmittelbar integrieren:
ò P dx = xy - ½x² + c(y)
ò Q dy = ½y² + xy + c(x)
Gleichsetzen beider Ausdrücke ergibt: c(y) = ½y² und c(x)=-½x²
allgemeine Lösung ist also:
xy - ½x² + ½y² = C/2 |*2
2xy - x² + y² = C
=> y = -x ± Ö(2x²+C)
y(1)=1 => -1 ± Ö(2+C)=1 => C=2, aber nur für y = -x + Ö(2x²+C), also Lösung des speziellen Problems:
y = -x + Ö(2x²+2)
PS: alles klar mit der Lösung auf zahlreich.de/hausaufgaben/messages/4244/24802.html? |
Christoph (Gregor_2)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 13. Januar, 2002 - 17:25: |
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Ja danke,
hat mir weitergeholfen!
Die andere Lösung (oberer Link) ist auch in Ordnung!
Vielen Dank! |
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