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Komplexe Zahlen

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TimoDaniel
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Veröffentlicht am Montag, den 24. Dezember, 2001 - 14:10:   Beitrag drucken

Könnt ihr uns bitte bei folgende Aufgabe helfen.

Trenne die komplexe Zahl z=(1-(e^jx)^n):(1-e^jx)
in real und immaginärteil auf. Wählen sie im ergebniss anstelle der e-funktion die trigonometrischen funktionen! Welcher wert ergibt sich für x=pi/2 und n=2

Wir kommen da gar nicht weiter. Schonmal danke im voraus.

Gruss

Timo und Daniel
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Orion (Orion)
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Veröffentlicht am Montag, den 24. Dezember, 2001 - 15:09:   Beitrag drucken

Hallo :

Ich lese den Ausdruck als

z = [1 - exp(ix)^n]/[1 - exp(ix)]

und erlaube mir, als Mathematiker i statt j zu
schreiben.

Nach de Moivre ist

exp(ix)^n = exp(inx) = cos(nx) + i sin(nx)

Wir erweitern z noch mit dem Konjugierten des
Nenners, also mit 1 - exp(- ix).
Der Nenner wird dann gleich dem Betragsquadrat
von 1 - exp(ix), d.h.

= (1 - cos(x))^2 + sin^2(x) = 2*(1 - cos(x))

=4*sin^2(x/2).

Der Zaehler wird

[1 - exp(inx)]*[1 - exp(- ix)]

= 1 - exp(inx) - exp(- ix) + exp(i(n-1)x)

= 1-cos(nx)-cos(x)+cos((n-1)x)

+[-sin(nx) + sin(x) + sin((n-1)x)]*i,

was man noch mittels Additionstheorem (Formeln
fŸr cos(u) + cos(v) etc.) vereinfachen kann.

mfg

Orion

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