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Beitrag |
    
Hanna
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. Dezember, 2001 - 18:08: | 
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Man entwickle die Funktion 1/ (6-x-x^2) an der Stelle x(0)=0 in eine Taylorreihe!!!!!!!!
Was ist eine Taylorreihe und wozu ist sie gut??
Bitte findet eine Lösung.
Liebe Grüße
Hanna |
Ewald
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 12:42: |
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Hallo Hanna,
Was hat das mit Differentialgleichungen zu tun? |
Orion (Orion)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. Dezember, 2001 - 14:39: |
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Hanna :
Wenn eine Funktion in eine Intervall um 0
unendlich oft differenzierbar ist, so
lautet die zugeordnete Taylorreihe formal
sum[k=0..oo](1/k!)*f^(k)^(0)*x^k
Dabei ist f^(k)(0) die k-te Ableitung an der
Stelle 0. Ob die Reihe konvergiert und
ihre Summe = f(x) ist, ist eine andere Frage.
Das sollte man eigentlich in der Analysisvorlesung
besprochen haben, bevor man sich mit Differentialgleichungen abgibt. Wie dem auch sei,
im vorliegenden Fall kann man so vorgehen:
Partialbruchzerlegung von f(x) ergibt (rechne !)
f(x) = (1/5)*{1/(2-x) + 1/(3+x)}
Die beiden BrŸche kann man je in eine geometrische
Reihe entwickeln :
1/(2-x) = (1/2)*1/(1-x/2)
= (1/2)*sum[k=0..oo](1/2)^k*x^k
= sum[k=0..oo](1/2)^(k+1)*x^k , | x | < 2
und entsprechend fŸr den 2. Bruch.
Setzt man alles zusammen, so bekommt man
f(x) = (1/5)*sum[k=0..oo]{(1/2)^(k+1)
- (- 1/3)^(k+1)}*x^k,
und diese Reihe konvergiert fŸr | x | < 2
und stellt dort die Funktion dar.
mfg
Orion |
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