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Res
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 15:40: | 
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Hallo,
Kann mir jemand helfen ,die nachstehende Aufgabe
zu lösen. Besten Dank zum voraus
Die Aufgabe lautet :
Man lege an die Fläche zweiter Ordnung
4 x ^ 2 + 9 y ^ 2 – 72 z = 0
eine Tangentialebene T parallel zur
Ebene E: x + y + z = 1.
Bestimme den Berührungspunkt und den
Abstand der Ebenen E und T.
MfG
Res |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 17:39: |
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Hi Res,
Von der Funktion PHI (x,y,z) = 4x^2 + 9y^2- 72 z
ermitteln wir den Gradient ,welcher für die Tangentialebene
einen Normalenvektor n ergibt.
Die Koordinaten des Vektors grad(PHI) erhält man
durch sukzessives partielles Ableiten von PHI,
nach x , nach y , nach z , also
grad PHI = { 8 x ; 18 y; -72 }= 2 * [ 4x ; 9y ; -36] = 2 n
Damit T zu E parallel ist , wählen wir als
Normalenvektor m der Ebene E den Vektor
m = {-36;-36 ;-36}.
Durch einen Vergleich mit n erhalten wir für die
Koordinaten xo , yo des Berührungspunktes Po(xo/yo/zo):
4 xo = - 36 , 9 yo = - 36, mithin
xo = - 9 , yo = - 4
Durch Einsetzen dieser Werte in die Flächengleichung
kommt auch z = zo = 1 / 7 2 * [ 4*81+9*16 ] = 13 / 2.
Die Gleichung von T lautet im Ansatz:
x + y +z = d, die Koordinaten xo,yo,zo müssen die Gleichung
befriedigen, was für d = 13 / 2 - 13 = - 13 / 2 zutrifft.
Gleichung von T:
2x + 2y + 2z = -13
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Der gesuchte Abstand a der Ebenen E und T stimmt mit dem
Abstand des Punktes Po(-9 / - 4 / 6,5) von der Ebene E überein .
Mit Hesse kommt a = [ -9 - 4 + 6,5 -1] / wurzel(3) = -7,5 /wurzel(3)
Abs(a) = 1 / (2*wurzel(3))
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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