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Carlo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 07:43: | 
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Hallo,
Man bestimme den Mittelpunkt und die Halbachsen der Ellipse c:
x ^ 2 – x y + y ^ 2 – 5 x + y – 2 = 0
Welches sind die Extrema von f(x,y) = 4 – (x+y) / 2
für P(x/y) auf c ?
Mit welchen Ansätzen kann man diese Aufgabe lösen ?
Ich bin für jeden Hinweis dankbar !
Carlo |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 10:13: |
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Hi Carlo,
1.Mittelpunkt
Wir leiten die Ellipsengleichung implizit nach x ab
und lösen nach der Ableitung y´(x) auf.
2 x – y – x y´ + 2 y y ´- 5 + y ´ = 0
y´ = [ - 2 x + y + 5 ] / [- x + 2y + 1 ] = Z / N
Setz man Z = 0 und N = 0, so erhält man die
Gleichungen zweier Geraden, die sich im
gesuchten Mittelpunkt M(u/v) schneiden.
Durch eine kleine Rechnung finden wir:
x = u = 3 ; y = v = 1.
Kontrolle :wir wählen ein neues Koordinatensystem
(X,Y) mit M als neuer Nullpunkt.
Transformationsgleichungen:
x = X + 3 , y = Y + 1.
Die Gleichung der Ellipse im neuen System enthält
keine linearen X- und Y-Terme; es kommt:
X ^ 2 - X Y + Y ^ 2 = 9………………………(1)
2 .Halbachsen
Wir benützen das NEUE Koordinatensystem
Die Hauptachsen liegen auf den
Winkelhalbierenden
Y =X und Y = - X der Quadranten.
Schnitt der Ellipse mit Y = X gibt die Hauptscheitel
A und B mit XA = 3, YA = 3, XB = -3, YB = -3
Schnitt der Ellipse mit Y = - X gibt die Nebenscheitel
C und D mit XC = wurzel (3), YC = - wurzel(3)
XD = - wurzel(3),YD = wurzel(3).
Für die Halbachsen a und b gilt
a^2 = MA ^ 2 = 18, also a = 3 * wurzel(2)
b^2 = MC ^2 = 6, also b = wurzel(6)
3. Extremalwerte von f(x,y).
Diese Aufgabe lösen wir auf eine eher ungewohnte Weise
Wir setzen das Verfahren der berührenden Niveaulinien
der Funktion f(x,y) ein.
Niveaulinien sind die Geraden der Schar
4 – ½ * (x+y) = c mit c als Scharparameter.
Alle Geraden der Schar sind unter sich parallel mit
der Steigung m = -1
Wir wählen diejenigen aus, welche die Ellipse
berühren.
Da die Nebenachse die Steigung –1 hat fallen
die Berührpunkte dieser Tangenten mit den
Hauptscheiteln A und B zusammen.
Im alten System gilt:
A( 6 / 4 ) , B ( 0 / - 2 )
Leicht stellt man fest, dass in A ein Minimum ,
in B ein Maximum von f(x,y) vorliegt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
Carlo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 29. November, 2001 - 12:18: |
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Dank an H.R.Moser,megamath,
für die prompte Hilfe
Carlo |
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