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Beitrag |
    
Christian (Firehead)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 18:28: | 
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man weiss, dass Det
=(b-a)(c-a)(c-b)
man beweise eine analoge Formel für die nxn Matrizen der Form:
| 1 | 1 | ... | 1 | | x1 | x2 | ... | xn | | x12 | x22 | ... | xn2 | | : | : | | : | | x1n-1 | x2n-1 | ... | xnn-1 |
indem man die erste Spalte (bis auf ersten Eintrag) mit Zeilenumformungen geschickt zu Null macht und dann Induktion anwendet. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 21:04: |
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Hi Christian,
Ich führe Dir einen Beweis für die Formel
zur Berechnung einer Vandermondeschen
Determinante vor, bei welchem die
Beweismethode der vollständigen Induktion
nicht gebraucht wird.
Addierst Du die mit –1 multiplizierten Elemente
der zweiten Kolonne zu den entsprechenden
Elementen der ersten Kolonne, so siehst Du
sofort, dass die neue erste Kolonne der
Determinante D und damit D selbst den Faktor
x1-x2 hat.
°°°°°°
Die erste Kolonne sieht nach der Prozedur so aus:
0
x1-x2
x1^2-x2^2
................
x1^(n-1)-x2^(n-1).
Diese Umformung wird mit allen möglichen
Paaren von zwei Kolonnen ausgeführt,
Die Anzahl solcher Paarungen ist
z = n tief 2 = ½ * n * (n-1).
Vor die Determinante lassen sich somit
z Faktoren der Form (xi –xj) mit i<j
(i,j=1...n) ziehen
Das ist dann schon beinahe alles.
D kann sich von diesem Produkt der z Klammern
nur durch einen konstanten Faktor c unterscheiden
wie die in Gedanken ausgeführte Entwicklung von
D in n! Summanden gemäss Laplace zeigt.
Somit gilt:
D = c*(x1-x2)*(x1-x3)*.............................. * (x1-xn)
.........*(x2-x3*(x2-x4)*……………………* (x2-xn)
.......................................................................
......................................................................*[x(n-1) – xn]
Die Konstante c ist gerade der Koeffizient von
x1^(n-1)*x2^(n-2)*x3^(n-3).. * x(n-1);
in der Entwicklung von Laplace ist dieser Term aber
das Produkt der Elemente in der Nebendigonalen,
versehen mit dem ichtigen Vorzeichen
(Diagonale von links oben nach rechts unten).
Mithin gilt
c = (-1) ^ z
Die z Differenzen können je mit –1 multipliziert werden
Dann wird in der Schlussformel der vorausgehende Koeffizient
zu +1.
Endgültig:
D = produkt [ (xr-xs) ], über alle r > s ; r , s =1.....n
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 15:37: |
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Hi Christian,
Zu Deiner Orientierung
Ein Induktions-Beweis zur Vandermondeschen Determinante
findest Du in dem 1999 im Oldenbourg erschienenen
Buch von Grauert und Grunau ,
Lineare Algebra und Analytische Geometrie.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
Christian (Firehead)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 21:35: |
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Vielen Dank für die äusserst hilfreichen Tipps!!
Gruss Chris |
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