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Christian (Firehead)
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 18:28: |
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man weiss, dass Det =(b-a)(c-a)(c-b) man beweise eine analoge Formel für die nxn Matrizen der Form:
1 | 1 | ... | 1 | x1 | x2 | ... | xn | x12 | x22 | ... | xn2 | : | : | | : | x1n-1 | x2n-1 | ... | xnn-1 | indem man die erste Spalte (bis auf ersten Eintrag) mit Zeilenumformungen geschickt zu Null macht und dann Induktion anwendet. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 21:04: |
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Hi Christian, Ich führe Dir einen Beweis für die Formel zur Berechnung einer Vandermondeschen Determinante vor, bei welchem die Beweismethode der vollständigen Induktion nicht gebraucht wird. Addierst Du die mit –1 multiplizierten Elemente der zweiten Kolonne zu den entsprechenden Elementen der ersten Kolonne, so siehst Du sofort, dass die neue erste Kolonne der Determinante D und damit D selbst den Faktor x1-x2 hat. °°°°°° Die erste Kolonne sieht nach der Prozedur so aus: 0 x1-x2 x1^2-x2^2 ................ x1^(n-1)-x2^(n-1). Diese Umformung wird mit allen möglichen Paaren von zwei Kolonnen ausgeführt, Die Anzahl solcher Paarungen ist z = n tief 2 = ½ * n * (n-1). Vor die Determinante lassen sich somit z Faktoren der Form (xi –xj) mit i<j (i,j=1...n) ziehen Das ist dann schon beinahe alles. D kann sich von diesem Produkt der z Klammern nur durch einen konstanten Faktor c unterscheiden wie die in Gedanken ausgeführte Entwicklung von D in n! Summanden gemäss Laplace zeigt. Somit gilt: D = c*(x1-x2)*(x1-x3)*.............................. * (x1-xn) .........*(x2-x3*(x2-x4)*……………………* (x2-xn) ....................................................................... ......................................................................*[x(n-1) – xn] Die Konstante c ist gerade der Koeffizient von x1^(n-1)*x2^(n-2)*x3^(n-3).. * x(n-1); in der Entwicklung von Laplace ist dieser Term aber das Produkt der Elemente in der Nebendigonalen, versehen mit dem ichtigen Vorzeichen (Diagonale von links oben nach rechts unten). Mithin gilt c = (-1) ^ z Die z Differenzen können je mit –1 multipliziert werden Dann wird in der Schlussformel der vorausgehende Koeffizient zu +1. Endgültig: D = produkt [ (xr-xs) ], über alle r > s ; r , s =1.....n Gruss H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 15:37: |
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Hi Christian, Zu Deiner Orientierung Ein Induktions-Beweis zur Vandermondeschen Determinante findest Du in dem 1999 im Oldenbourg erschienenen Buch von Grauert und Grunau , Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Gruss H.R.Moser,megamath. |
Christian (Firehead)
| Veröffentlicht am Samstag, den 24. November, 2001 - 21:35: |
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Vielen Dank für die äusserst hilfreichen Tipps!! Gruss Chris |
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