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Hermine
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 12:55: | 
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hallo erstmal, habe hier ein kleines Problem, weiß nicht wie am besten an die Sache drangehen soll.
Ich soll zeigen.
a[n]=NteWurzel[n]
ist für n>=3 monoton fallend.
Dann soll ich noch entscheiden, gegen was sie fällt!
Danke schon mal |
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 23:15: |
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Ist das große N das gleiche wie das kleine n?
Den Grenzwert finden kannst du ja, indem du mal große n ausprobierst. Vielleicht kommst du ja so zu einer Vemutung.
Grüße,
Thomas |
sabrina
| | Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 10:26: |
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Das der Grenzwert gleich 1 ist schon, klar, aber wie beweise ich die Monotonie?? |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 08:48: |
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Hi sabrina,
Kürzlich habe ich eine Antwort auf Deine Frage
hier ins Netz gestellt; ich gebe nun eine
Rohkopie meiner damaligen Ausführungen wieder.
Wir können, ohne das Konvergenzverhalten
zu beeinflussen, eine endliche Anzahl von Gliedern
der Folge weglassen; dies beeinfluss das infinitäre
Verhalten der Folge nicht.
Wir sind bescheiden und lassen bloss die ersten beiden
Glieder der Folge weg; sie passen nicht in unsern Rahmen.
Für der Folge a(n) = n ^ (1/n) gelte demnach
für die Dauer des Beweises n > = 3
Wir zeigen der Reihe nach:
A] a) die Folge ist nach unten beschränkt
mit s = 1 als untere Schranke
b) die Folge ist monoton fallend.
B] der Grenzwert g ist 1
Ganz A] besagt ,dass die Folge konvergiert und dass
g > = 1 gilt.
Nun die Einzelheiten
A] a) Aus n > = 3 folgt direkt n ^ (1/n) > 1
Hinweis: potenziere die erste Ungl. mit n .
b) Es ist n ^ (1/n) > = (n+1) ^ { 1 / (n+1) }
Diese Ungleichung ist äquivalent mit
n > = (n+1) ^ n / n ^ n = (1 + 1/n) ^ n
Hinweis: potenziere die Ungleichung
mit dem Produkt n * ( n +1 ) .
Dem Ausdruck rechts begegnet man bei der
Ermittlung des bekannten Grenzwertes für e,
wo man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes
zeigt, dass der Term kleiner als drei ist.
Wegen n > = 3 ist daher die anfangs
angeschriebene Ungleichung richtig.
B] Wenn die Folge der an,
wie soeben nachgewiesen wurde, konvergiert,
so tut dies auch die Teilfolge mit ungeraden Indizes:
wir ersetzen in der Aussage n^(1/n) strebt gegen g
n durch 2n ,indem wir schreiben
(2n)^(1/2n) strebt gegen g,
d.h .indem wir beide Seiten ins Quadrat erheben:
(2n) ^ (1/n) = 2^(1/n)*n^(1/n) strebt gegen g^2,
Nun geht 2^(1/n) gegen 1 ,n^(1/n) gegen g ,
sodass die Gleichung entsteht :
1 * g = g^2 mit den Lösungen g = 1 und g = 0.
Letzteres kommt wegen g>=1 nicht in Frage ;
es verbleibt g =1, w.z.z.w.
Damit ist alles bewiesen !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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