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Hermine
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 12:55: |
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hallo erstmal, habe hier ein kleines Problem, weiß nicht wie am besten an die Sache drangehen soll. Ich soll zeigen. a[n]=NteWurzel[n] ist für n>=3 monoton fallend. Dann soll ich noch entscheiden, gegen was sie fällt! Danke schon mal |
Thomas
| Veröffentlicht am Freitag, den 23. November, 2001 - 23:15: |
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Ist das große N das gleiche wie das kleine n? Den Grenzwert finden kannst du ja, indem du mal große n ausprobierst. Vielleicht kommst du ja so zu einer Vemutung. Grüße, Thomas |
sabrina
| Veröffentlicht am Montag, den 26. November, 2001 - 10:26: |
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Das der Grenzwert gleich 1 ist schon, klar, aber wie beweise ich die Monotonie?? |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Dienstag, den 27. November, 2001 - 08:48: |
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Hi sabrina, Kürzlich habe ich eine Antwort auf Deine Frage hier ins Netz gestellt; ich gebe nun eine Rohkopie meiner damaligen Ausführungen wieder. Wir können, ohne das Konvergenzverhalten zu beeinflussen, eine endliche Anzahl von Gliedern der Folge weglassen; dies beeinfluss das infinitäre Verhalten der Folge nicht. Wir sind bescheiden und lassen bloss die ersten beiden Glieder der Folge weg; sie passen nicht in unsern Rahmen. Für der Folge a(n) = n ^ (1/n) gelte demnach für die Dauer des Beweises n > = 3 Wir zeigen der Reihe nach: A] a) die Folge ist nach unten beschränkt mit s = 1 als untere Schranke b) die Folge ist monoton fallend. B] der Grenzwert g ist 1 Ganz A] besagt ,dass die Folge konvergiert und dass g > = 1 gilt. Nun die Einzelheiten A] a) Aus n > = 3 folgt direkt n ^ (1/n) > 1 Hinweis: potenziere die erste Ungl. mit n . b) Es ist n ^ (1/n) > = (n+1) ^ { 1 / (n+1) } Diese Ungleichung ist äquivalent mit n > = (n+1) ^ n / n ^ n = (1 + 1/n) ^ n Hinweis: potenziere die Ungleichung mit dem Produkt n * ( n +1 ) . Dem Ausdruck rechts begegnet man bei der Ermittlung des bekannten Grenzwertes für e, wo man mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes zeigt, dass der Term kleiner als drei ist. Wegen n > = 3 ist daher die anfangs angeschriebene Ungleichung richtig. B] Wenn die Folge der an, wie soeben nachgewiesen wurde, konvergiert, so tut dies auch die Teilfolge mit ungeraden Indizes: wir ersetzen in der Aussage n^(1/n) strebt gegen g n durch 2n ,indem wir schreiben (2n)^(1/2n) strebt gegen g, d.h .indem wir beide Seiten ins Quadrat erheben: (2n) ^ (1/n) = 2^(1/n)*n^(1/n) strebt gegen g^2, Nun geht 2^(1/n) gegen 1 ,n^(1/n) gegen g , sodass die Gleichung entsteht : 1 * g = g^2 mit den Lösungen g = 1 und g = 0. Letzteres kommt wegen g>=1 nicht in Frage ; es verbleibt g =1, w.z.z.w. Damit ist alles bewiesen ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath. |
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