| Autor |
Beitrag |
    
Sabrina
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 20:53: | 
|
Ich komme bei dem Beweis nicht weiter.
Die Verankerung ist klar, ich weiß nur nicht wie beim Schritt am günstigsten umforme.
Also hier die Aufgabe:
für n>=6 gilt
(n/3)^n<n!<(n/2)^n
Bin für alle Tips mehr als dankbar. und würde mich freuen wenn mir jemand hilft
Danke Gruß Sabrina |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 17:47: |
|
Zum Beweis der beiden Ungleichungen wird vorausgesetzt, dass 2 < e < 3 bekannt ist,
wobei e der Grenzwert der monoton steigenden Folge
an = (1+ 1/n)^n ist.
Ist dies nicht bekannt, siehe die Hinweise unten.
linke Ungleichung: (n/3)^n < n!
e < 3
(1+ 1/n)^n < 3 | *n^n/3^(n+1)
(n+1)^n/3^(n+1) < n^n/3^n
(1) (n+1)^n/3^(n+1) < (n/3)^n
Nach Induktionsvoraussetzung gilt (n/3)^n < n!
mit Ungleichung (1) golft daraus
(n+1)^n/3^(n+1) < (n/3)^n < n! | *(n+1)
(n+1)^(n+1)/3^(n+1) < n! *(n+1)
also
( (n+1)/3 )^(n+1) < (n+1)!
und damit der linke Teil der Behauptung.
rechte Ungleichung n! < (n/2)^n
Es gilt für alle n>1
2 < (1+ 1/n)^n | *n^n/2^(n+1)
(2) n^n/2^n < (n+ 1)^n/2^(n+1)
Nach Induktionsvoraussetzung gilt n! < (n/2)^n
Mit Ungleichung (2) golft daraus
n! < (n/2)^n = n^n/2^n < (n+ 1)^n/2^(n+1) | *(n+1)
=> (n+1)! < ( (n+1)/2 )^(n+1)
Was zu zeigen war.
Erweiterung zur linken Ungleichung:
Es gilt sogar
(*) ((n+1)/3)^n < n!
Es gilt (s.o.) ( (m+1)/m )^m < 3
ersetze darin m=n+1 und es folgt:
( (n+2)/(n+1) )^(n+1) < 3 | *(n+1)^(n)/3^(n+1)
(n+2)^(n+1) /( (n+1)*3^(n+1) ) < (n+1)^n/3^n = ( (n+1)/3 )^n
nach Voraussetzung (*) gilt
((n+1)/3)^n < n!
also auch
(n+2)^(n+1) /( (n+1)*3^(n+1) ) < (n+1)^n/3^n = ( (n+1)/3 )^n < n! | *(n+1)
(n+2)^(n+1) / 3^(n+1) < n!*(n+1)
( (n+2)/3 )^(n+1) < (n+1)!
was die Behauptung (*) für (n+1) anstatt n ist.
Zum Beweis der hier verwendeten Tatsache e<3 siehe Seite
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/20990.html
(Abschätzung für e unter 2.)
Dass für alle Glieder an der Folge
an = (1+ 1/n)^n
an > 2 für n>1 gilt, kann bewiesen werden, indem man zeigt, dass diese Folge von
a1=2 an streng monoton steigt. |
|
