Autor |
Beitrag |
Sabrina
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 22. November, 2001 - 20:53: |
|
Ich komme bei dem Beweis nicht weiter. Die Verankerung ist klar, ich weiß nur nicht wie beim Schritt am günstigsten umforme. Also hier die Aufgabe: für n>=6 gilt (n/3)^n<n!<(n/2)^n Bin für alle Tips mehr als dankbar. und würde mich freuen wenn mir jemand hilft Danke Gruß Sabrina |
Lemma5
| Veröffentlicht am Sonntag, den 25. November, 2001 - 17:47: |
|
Zum Beweis der beiden Ungleichungen wird vorausgesetzt, dass 2 < e < 3 bekannt ist, wobei e der Grenzwert der monoton steigenden Folge an = (1+ 1/n)^n ist. Ist dies nicht bekannt, siehe die Hinweise unten. linke Ungleichung: (n/3)^n < n! e < 3 (1+ 1/n)^n < 3 | *n^n/3^(n+1) (n+1)^n/3^(n+1) < n^n/3^n (1) (n+1)^n/3^(n+1) < (n/3)^n Nach Induktionsvoraussetzung gilt (n/3)^n < n! mit Ungleichung (1) golft daraus (n+1)^n/3^(n+1) < (n/3)^n < n! | *(n+1) (n+1)^(n+1)/3^(n+1) < n! *(n+1) also ( (n+1)/3 )^(n+1) < (n+1)! und damit der linke Teil der Behauptung. rechte Ungleichung n! < (n/2)^n Es gilt für alle n>1 2 < (1+ 1/n)^n | *n^n/2^(n+1) (2) n^n/2^n < (n+ 1)^n/2^(n+1) Nach Induktionsvoraussetzung gilt n! < (n/2)^n Mit Ungleichung (2) golft daraus n! < (n/2)^n = n^n/2^n < (n+ 1)^n/2^(n+1) | *(n+1) => (n+1)! < ( (n+1)/2 )^(n+1) Was zu zeigen war. Erweiterung zur linken Ungleichung: Es gilt sogar (*) ((n+1)/3)^n < n! Es gilt (s.o.) ( (m+1)/m )^m < 3 ersetze darin m=n+1 und es folgt: ( (n+2)/(n+1) )^(n+1) < 3 | *(n+1)^(n)/3^(n+1) (n+2)^(n+1) /( (n+1)*3^(n+1) ) < (n+1)^n/3^n = ( (n+1)/3 )^n nach Voraussetzung (*) gilt ((n+1)/3)^n < n! also auch (n+2)^(n+1) /( (n+1)*3^(n+1) ) < (n+1)^n/3^n = ( (n+1)/3 )^n < n! | *(n+1) (n+2)^(n+1) / 3^(n+1) < n!*(n+1) ( (n+2)/3 )^(n+1) < (n+1)! was die Behauptung (*) für (n+1) anstatt n ist. Zum Beweis der hier verwendeten Tatsache e<3 siehe Seite http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/20990.html (Abschätzung für e unter 2.) Dass für alle Glieder an der Folge an = (1+ 1/n)^n an > 2 für n>1 gilt, kann bewiesen werden, indem man zeigt, dass diese Folge von a1=2 an streng monoton steigt. |
|