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Julia (Joon)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 22:16: | 
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Es seien A,B,C drei paarweise verschiedene Punkte mir den Eckpunkten A,B,C. Ferner seien a (vektor) :=BC(Vek.), b (vek.):=CA (vek.) und c:= AB(Vek,). Es sei S der Schnittpunkt der beiden Höhen im Dreieck , die von A bzw. B ausgehen. Beweise CS (Vek.) senkrecht (orthogonal) c(vek.). Was ist damit überhaupt gezeigt worden?
Kann mir da jemand helfen? Mfg Julia |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 10:04: |
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Hallo Julia,
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H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 13:31: |
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Hallo Fern,
Zu allem Ueberfluss habe ich mich auch mit dieser Aufgabe
beschäftigt und versucht, ohne Koordinatensystem
auszukommen.
Ich möchte Dir meinen Lösungsweg nicht vorenthalten !
Besten Dank für die gute Zusammenarbeit
und freundliche Grüsse
H.R.Moser,megamath.
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Wir brauchen zur Lösung der Aufgabe
ausgiebig den Begriff des Skalarproduktes
von Vektoren und die Orthogonalitätsbedingung:
Zwei Vektoren a und v stehen aufeinander senkrecht,
wenn ihr Skalarprodukt a.v null ist.
Weiter:
Eine Summe s = a+b+c von Vektoren darf gliedweise
mit einem Vektor v multipliziert werden, so dass
eine Gleichheit von Zahlen entsteht:
s. v = a.v +b.v + c.v , insbesondere gilt
o.v = 0, links steht der Nullvektor o , rechts
die skalare Null 0 .
Zur Figur
S ist offensichtlich als Schnittpunkt der Höhen ha,hb
der Höhenschnittpunkt im Dreieck ABC.
Die ganze Uebung hat den Zweck, zu zeigen,
dass auch die dritte Höhe hc durch S geht.
.
Bezeichnungen:
Vektoren BC = a, CA = b , AB = c , ferner:
AS = u , BS = v , CS = w .
zu a)
Wir stellen Vektorgleichungen auf, die wir fortlaufend
nummerieren.
Voraussetzung
Skalarprodukt a. u = 0...............................................(1)
Skalarprodukt b .v = 0...............................................(2)
Da u senkrecht zu a , v senkrecht zu b steht.
Behauptung
c.w = 0 .........................................................................(3)
Wenn dies gezeigt ist, so ist nachgewiesen,
dass w senkrecht zu c steht .
Ausführung
Die Summe der Vektoren a,b,c ist gleich dem
Nullvektor (geschlossene Vektorkette)
a + b + c = o …………………………………………(4)
oder a = - b - c ............................................................ (5)
Analog erhalten wir weitere geschlossene
Vektorketten:
u – w + b = o...........................................................….(5)
w – v + a = o............................................................…(6)
Nun multiplizieren wir die Gleichung (5) skalar
beidseitig mit dem Vektor a und Gleichung (6)
ebenso mit b.
Es entstehen die skalaren Gleichungen (7) und(8):
a.u – a.w + a.b = 0,
wegen (1) folgt: - a .w + a.b = 0.............................(7)
b.w – b.v + a.b = 0,
wegen (2) folgt: b. w + a.b = 0............................(8)
Nun setzen wir (5) in (7) ein; es kommt:
(b+c).w = - a.b oder
b.w + c.w = - a.b.......................................................(10)
Aus (8) folgt:
b.w = - a.b…………………………………………..(11)
Setzen wir (11) in (10) ein, so hebt sich –a.b weg ,
und es bleibt:
c.v = 0 . was zu zeigen war.
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Julia (Joon)
| | Veröffentlicht am Montag, den 19. November, 2001 - 14:40: |
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Super, ihr habt mir beide sehr weitergeholfen. Und ich werde euch auf ewig dankbar sein. Hoffentlich können wir mal wieder so gut zusammen arbeiten.(Obwohl die Beteiligung meinerseits sehr gering war). Danke Mfg Julia |
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