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Dirk Purrucker (Matrixx)
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 20:21: |
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Hallo, ich habe hier eine dringende Hausaufgabe mit folgender Aufgabenstellung: Beweisen Sie den Kosinussatz der ebenen Trigonometrie mit Hilfe der Vektorrechnung. Kann mir da bitte jemand schnell helfen, da ich von Beweisen leider keinerlei Ahnung habe. Danke, Dirk |
H.R.Moser,megamath
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. Dezember, 2001 - 22:42: |
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Hi Dirk, Im Dreieck ABC seien in konventioneller Art mit a , b , c die den Ecken gegenüberliegenden Seiten bezeichnet. alpha ist der Innenwinkel bei A u sei der Seitenvektor AB, v der Seitenvektor AC w der Verbindunsvektor CB der Ecke C mit B. Dann gilt zunächst w = u - v Wir quadrieren diese Vektorgleichung im Sinne der skalaren Multiplikation, für welche das Distributivgesetz gilt Beispiel: u.(u – v ) = u.u – u.v u.s.w. Wir erhalten die (skalare) Gleichung w.w = u.u – 2 * u.v + v.v Interpretation: Die Quadrate sind die Seitenlängen im Quadrat w.w = a^2, u.u = c^2, v.v = b^2 Aus der Definition des Skalarprodukts folgt: u.v = abs (u) * abs(v) * cos(alpha) = c * b * cos(alpha) Setzt man dies alles ein, so steht die Formel des Kosinussatzes da: a^2 = c^2 + b^2 – 2 * c * b * cos (alpha ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° |
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