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Pit
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 09:39: |
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Hallo, Ich suche nach einem Ansatz zur Lösung der Differenzialgleichung y ´ = ln x / x * y ^ 2 – y / x Für jeden Hinweis bin ich dankbar. Gruss Pit |
Fern
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 12:30: |
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Hallo Pit, y' = (ln(x)/x)*y² - y/x =============== Dies ist eine nichtlineare Gleichung, eine sogenannte Bernoulli-Gleichung. Allgemein: y' + p(x)*y = q(x)*yn Durch Substitution von u = y1-n erhält man eine linearisierte Gleichung. ========= In unserem Fall ist n=2 und wir substituieren: u = 1/y u' = -(1/y²)*y also y' = -u'y² = -u'/u² einsetzen: -u'/u² = ln(x)/x - 1/(ux) u' - (1/x)u = -ln(x)/x dies ist nun eine lineare Dgl. ====================== Allgemein: y' + p(x)*y = g(x) Man bildet: ò p(x) dx und multipliziert die Dgl mit eò p(x)dx =============== ====== In unserem Fall p(x) = -1/x ò -1/x*dx = -ln(x) und e-ln(x) = 1/x Wir mulptiplizieren die blaue Gleichung also mit 1/x: (1/x)u' - (1/x²)u = -ln(x)/x² Dann ist immer die linke Seite: (1/x)u' -(1/x²)u = ((1/x)*u)' und wir können beide Seiten integrieren: (1/x)*u = ò -ln(x)/x²*dx Das Integral ist: ln(x)/x + 1/x +C (1/x)*u = ln(x)/x + 1/x +C u = ln(x) + 1 + C*x ============== Zurücksubstituiern: 1/y = ln(x) + 1 + C*x y = 1/[ln(x) +1 + C*x] ============================================ |
Pit
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 10:00: |
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Hallo Fern, Vielen Dank für deine eindrückliche Lösung ! Pit |
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