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Differenzialgleichung erster Ordnung

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Pit
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 09:39:   Beitrag drucken

Hallo,

Ich suche nach einem Ansatz zur Lösung der Differenzialgleichung
y ´ = ln x / x * y ^ 2 – y / x
Für jeden Hinweis bin ich dankbar.

Gruss Pit
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Fern
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 14. November, 2001 - 12:30:   Beitrag drucken

Hallo Pit,
y' = (ln(x)/x)*y² - y/x
===============
Dies ist eine nichtlineare Gleichung, eine sogenannte Bernoulli-Gleichung.
Allgemein:
y' + p(x)*y = q(x)*yn
Durch Substitution von u = y1-n erhält man eine linearisierte Gleichung.
=========
In unserem Fall ist n=2 und wir substituieren:
u = 1/y
u' = -(1/y²)*y also y' = -u'y² = -u'/u²
einsetzen:
-u'/u² = ln(x)/x - 1/(ux)
u' - (1/x)u = -ln(x)/x dies ist nun eine lineare Dgl.
======================
Allgemein: y' + p(x)*y = g(x)
Man bildet: ò p(x) dx und multipliziert die Dgl mit eò p(x)dx
=============== ======
In unserem Fall p(x) = -1/x
ò -1/x*dx = -ln(x)
und e-ln(x) = 1/x

Wir mulptiplizieren die blaue Gleichung also mit 1/x:
(1/x)u' - (1/x²)u = -ln(x)/x²
Dann ist immer die linke Seite: (1/x)u' -(1/x²)u = ((1/x)*u)'
und wir können beide Seiten integrieren:
(1/x)*u = ò -ln(x)/x²*dx
Das Integral ist: ln(x)/x + 1/x +C
(1/x)*u = ln(x)/x + 1/x +C
u = ln(x) + 1 + C*x
==============
Zurücksubstituiern:
1/y = ln(x) + 1 + C*x

y = 1/[ln(x) +1 + C*x]
============================================
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Pit
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 10:00:   Beitrag drucken

Hallo Fern,
Vielen Dank für deine eindrückliche
Lösung !
Pit

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