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Susi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 15:03: | 
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Ich habe 2 Aufgaben, wo ich stundenlang überlege aber einfach nichtmal einen Lösungsansatz hinbekomme! Die Aufgabe lautet:
Geben Sie eine Diffgl an, die die Kurvenschaar a.) x^2+y^2 = C
b.) Y = e^x*(C1+C2*x+C3*x^2)
mit C,C1,C2, C3 aus R zur Lösung hat.
Bitte laßt mich nicht hängen. Vielen Dank.
Susi |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 18:31: |
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Hi Susi
a) Es liegt eine Kurvenschar mit einem einzigen
Parameter c vor; wir können eine Dgl.der Schar
Aufstellen,welche von erster Ordnung ist
Lösungsweg
Die Gleichung der Schar wird nach x abgeleitet.
Dann wird aus der so entstandenen Gleichung
und der ursprünglichen Gleichung der Scharparameter
c eliminiert
Beim vorgelegten Beispiel ist dieser Vorgang trivial
Wir erhalten:
Aus y = wurzel ( c - x^2 )
y ´ = - x / wurzel ( c - x^2 )
in der letzten Zeile ersetzen wir die Wurzel durch
y und wir erhalten
y ´ = - x /y oder
y * y ´ + x = 0 als die gesuchte Dgl.
Besser noch wäre die implizite Differentiation der
Kreisgleichung ; dies nur für Kenner der Materie.
Lösung von b) aufgeschoben
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megmath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. November, 2001 - 20:48: |
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Hi Susi,
Nun zur Teilaufgabe b)
Da die Schar dreiparametrig ist mit
c1 , c2 , c3 als Parameter, wird die gesuchte Dgl.
der Schar von dritter Ordnung
Wir leiten die gegebene Gleichung sukzessive ab,
bis die dritte Ableitung y´´´ erscheint.
Wir bezeichnen die Scharparameter mit a,b,c statt
mit c1,c2, c3 .
Wir arbeiten mit der Produktregel und erhalten
nach einer Vereinfachung;
y ´ = e ^ x * [ a + b*(x+1) + c*(x^2 +2*x) ]
y ´´ = e ^ x * [ a + b*(x+2) + c*(x^2 + 4*x + 2)]
y ´´´ = e ^ x * [ a + b*(x+3) + c*(x^2 + 6*x + 6)]
Diese drei Gleichungen sind nach a, b ,c aufzulösen
und die Werte in die Gleichung der Scharkurven
y = e^x * [ a + b* x + c* x ^ 2 ) einzusetzen
Für c erhält man z.B. c = ½ * [y´´´- 2* y´´ + y´ ] / e^x
u.s.w.
Gruss
H.R.Moser,megamath.
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