| Autor |
Beitrag |
    
Mathias
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 12:57: | 
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Wer kann mir (1+i)^n + (1-i)^n in die Form
x + iy bringen |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 08:09: |
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Hi Mathias,
Die gesuchten Terme können - weniger elegant -
rein algebraisch ,ohne Benützung der trigonometrische Form,
berechnet werden.
Wir benützen die folgenden Bezeichnungen:
A(n) = (1+i1)^n , B(n) = (1-i1)^n, C(n) = A+B .
Beachte: 1+i1 und 1- i1 sind konjugiert komplexe Zahlen,
daher sind A(n) und B(n) ebenfalls konjugiert komplex.
Die Summe C(n) ist demnach reell und stimmt mit
dem Zweifachen des Realteils von A(n) überein:
C(n) = 2* Re[A(n)].
Wir berechnen nun auf eine einfache Weise das erste
Dutzend Potenzen A(n),B(n) und die zugehörigen
Summen C(n),um die Gesetzmässigkeit zu erkennen.
n=0
A(0)=1,B(0)=1,C(0)=2
n=1
A(1)=1+i1,B(1)=1-i1,C(1)=2
n=2
A(2)=(1+i1)^2=1 + i2 - (i1)^2 = i2
B(2)= -i2
C(2) = 0
n=3
A(3)= i2*(1+i1)=-2+i2
B(3)=-2-i2
C(3)=-4
n=4
A(4)=(-2+i2)(1+i1)=-2+i2-i2-2=-4
B(4)=-4
C(4)=-8
n=5
A(5)=-4(1+i1)=-4-i4
B(5)=-4+i4
C(5)=-8
n=6
A(6)=(-4-i4)(1+i1)=-4-i4-i4+4=-i8
B(6)=i8
C(6)=0
n=7
A(7)=-i8(1+i1)=8-i8
B(7)=8+i8
C(7)=16=2^4
n=8
A(8)=(8-i8)(1+i1)=8-i8+i8+8=16
B(8)=16
C(8)=32=2^5
n=9
A(9)=16(1+i1)=16+i16
B(9)=16-i16
C(9)032=2^5
n=10
A(10)=(16+i16)(1+i1)=16+i16+i16-16=i32
B(10)=-i32
C(10)=0
n=11
A(11)=i32(1+i1)=-32+i32
B(11)=-32-i32
C(11)=-64=-2^6
n=12
A(12)=(-32+i32)(1+i1)=-32+i32-i32-32=-64
B(12)=-64
C(12)=-128=-2^7
usw.
Die Gesetzmässigkeit lässt sich aus dieser Darstellung wohl schon
ermitteln
Empfehlung:
Arbeite bezüglich n mit Restklassen modulo 8
So entsprechen einander z.B. n = 2 und n = 10:
wir erhielten:
C(10) =C(2) = 0
C(14)=?
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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