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Beitrag |
Mathias
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 12:57: |
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Wer kann mir (1+i)^n + (1-i)^n in die Form x + iy bringen |
H.R.Moser,megamath.
| Veröffentlicht am Montag, den 12. November, 2001 - 08:09: |
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Hi Mathias, Die gesuchten Terme können - weniger elegant - rein algebraisch ,ohne Benützung der trigonometrische Form, berechnet werden. Wir benützen die folgenden Bezeichnungen: A(n) = (1+i1)^n , B(n) = (1-i1)^n, C(n) = A+B . Beachte: 1+i1 und 1- i1 sind konjugiert komplexe Zahlen, daher sind A(n) und B(n) ebenfalls konjugiert komplex. Die Summe C(n) ist demnach reell und stimmt mit dem Zweifachen des Realteils von A(n) überein: C(n) = 2* Re[A(n)]. Wir berechnen nun auf eine einfache Weise das erste Dutzend Potenzen A(n),B(n) und die zugehörigen Summen C(n),um die Gesetzmässigkeit zu erkennen. n=0 A(0)=1,B(0)=1,C(0)=2 n=1 A(1)=1+i1,B(1)=1-i1,C(1)=2 n=2 A(2)=(1+i1)^2=1 + i2 - (i1)^2 = i2 B(2)= -i2 C(2) = 0 n=3 A(3)= i2*(1+i1)=-2+i2 B(3)=-2-i2 C(3)=-4 n=4 A(4)=(-2+i2)(1+i1)=-2+i2-i2-2=-4 B(4)=-4 C(4)=-8 n=5 A(5)=-4(1+i1)=-4-i4 B(5)=-4+i4 C(5)=-8 n=6 A(6)=(-4-i4)(1+i1)=-4-i4-i4+4=-i8 B(6)=i8 C(6)=0 n=7 A(7)=-i8(1+i1)=8-i8 B(7)=8+i8 C(7)=16=2^4 n=8 A(8)=(8-i8)(1+i1)=8-i8+i8+8=16 B(8)=16 C(8)=32=2^5 n=9 A(9)=16(1+i1)=16+i16 B(9)=16-i16 C(9)032=2^5 n=10 A(10)=(16+i16)(1+i1)=16+i16+i16-16=i32 B(10)=-i32 C(10)=0 n=11 A(11)=i32(1+i1)=-32+i32 B(11)=-32-i32 C(11)=-64=-2^6 n=12 A(12)=(-32+i32)(1+i1)=-32+i32-i32-32=-64 B(12)=-64 C(12)=-128=-2^7 usw. Die Gesetzmässigkeit lässt sich aus dieser Darstellung wohl schon ermitteln Empfehlung: Arbeite bezüglich n mit Restklassen modulo 8 So entsprechen einander z.B. n = 2 und n = 10: wir erhielten: C(10) =C(2) = 0 C(14)=? Mit freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath. |
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