| Autor |
Beitrag |
    
Martin
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 22:08: | 
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Folgende Ungleichung ist mir momentan noch nicht
so ganz transparent:
x,y seien Element der ration. Zahlen und x,y >0
zu zeigen:
2/[(1/x)+(1/y)] <= sqrt(x*y) <= (x+y)/2
wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte!!
mfg
Martin |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. November, 2001 - 23:41: |
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Weiß nicht, ob das der einfachste Weg ist, aber ich würde es so machen :
1) Gleichung quadrieren. Da alle Terme größer gleich Null sind, ändern sich die Relationszeichen nicht.
2) Beim Term ganz links den Faktor xy abspalten und im anderen Faktor ausnutzen, daß 4xy=(x+y)²-(x-y)²
3) Bei rechten Term den Summand xy abspalten
Hoffe das reicht als Hinweis, wenn nicht melde Dich einfach noch einmal. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 04. November, 2001 - 14:41: |
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Hi Martin,
Bei der vorgelegten Ungleichungskette handelt es sich um die
bekannten Ungleichungen
G < = A.........................................................................................…(I)
H < = G……………………………………………………………(II)
wobei A das arithmetische Mittel , G das geometrische Mittel
und H das harmonische Mittel von ( zunächst zwei) pos.Zahlen
a , b bedeutet, also:
A= ½ (a+b), G = wurzel (ab) , H = 2 a*b / (a + b )
Beweis von (I) indirekt
Die Annahme G > A führt der Reihe nach auf die Ungleichungen
2 * wurzel (a*b) > a+b (quadriere!)
4 a b > ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2, also
0 > a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 = ( a – b ) ^ 2
Widerspruch: ( a –b ) ^ 2 kann nicht negativ sein
Damit ist der indirekte Beweis beendigt.
Beweis von (II) durch Rückführung auf (I)
Der Reziprokwert von H, also1 / H ,
lässt sich als arithmetisches Mittel der
Reziprokwerte von a und b , d.h.
als Mittel von 1 / a und 1 / b schreiben:
1/H = ½ * ( 1 / a + 1 / b )
Wenden wir darauf (I) an, so kommt:
1/H = ½ (1/a + 1/b) > wurze(1/a * 1/b)=1/wurzel(a*b)=1/G
also:
H < G ,was zu zeigen war (w.z.z.w.)
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath.
Hi Martin,
Bei der vorgelegten Ungleichungskette handelt es sich um die
bekannten Ungleichungen
G < = A.........................................................................................…(I)
H < = G……………………………………………………………(II)
wobei A das arithmetische Mittel , G das geometrische Mittel
und H das harmonische Mittel von ( zunächst zwei) pos.Zahlen
a , b bedeutet, also:
A= ½ (a+b), G = wurzel (ab) , H = 2 a*b / (a + b )
Beweis von (I) indirekt
Die Annahme G > A führt der Reihe nach auf die Ungleichungen
2 * wurzel (a*b) > a+b (quadriere!)
4 a b > ( a + b ) ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b + b ^ 2, also
0 > a ^ 2 – 2 a b + b ^ 2 = ( a – b ) ^ 2
Widerspruch: ( a –b ) ^ 2 kann nicht negativ sein
Damit ist der indirekte Beweis beendigt.
Beweis von (II) durch Rückführung auf (I)
Der Reziprokwert von H, also1 / H ,
lässt sich als arithmetisches Mittel der
Reziprokwerte von a und b , d.h.
als Mittel von 1 / a und 1 / b schreiben:
1/H = ½ * ( 1 / a + 1 / b )
Wenden wir darauf (I) an, so kommt:
1/H = ½ (1/a + 1/b) > wurze(1/a * 1/b)=1/wurzel(a*b)=1/G
also:
H < G ,was zu zeigen war (w.z.z.w.)
Mit freundlichen Grüßen.
H.R.Moser,megamath.
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Svcds (Svcds)
Neues Mitglied
Benutzername: Svcds
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 05-2011
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Mai, 2011 - 07:33: |
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Hi, also ich hab hier die Aufgabe zu beweisen
A(x,y)² < y also [(x+y)/2]² < y
Ist da nicht enin Fehler in der Aufgabe? Wenn ich nämlich z.B. x=13 und y=43 nehme, kommt die Ungleichung nicht hin.
GLG KNUT |
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