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Jan (jan1981)
Junior Mitglied
Benutzername: jan1981
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 17:32: | 
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Hallo, wir sollen allgemein den Flächeninhalt der Ellipse E={(x,y)€R^2|(x^2/a^2+y^2/b^2)<=1} bestimmen, wobei a,b>0 seien.
Ich hab eine Funktion bestimmt, die den Rand der Ellipse im Bereich y>0 beschreibt:
f(x) = sqrt(b^2-(b^2/a^2)*x^2) wobei sqrt der Quadratwurzel entspricht.
Wie kann ich jetzt zu dieser Funktion das Integral von -a bis a bestimmen? Maple gibt eine ziemlich heftige Formel aus...
Gruß, Jan |
Nuefz (nuefz)
Neues Mitglied
Benutzername: nuefz
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 20:13: |
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Hallo Jan,
Gleich jetzt sei bemerkt: Ich bin eher ein praxisnaher Mathematiker, der sich nicht so gut mit der korrekten Herleitung von Formeln auskennt, aber für das Integral von sqrt(b^2-(b^2/a^2)*x^2) von -a bis a ergibt sich einfach a*b*PI/2, das heißt, die ganze Ellipse (auch im negativen y-Bereich) hat also die Fläche a * b * PI. Kleine Kontrolle: Für einen Kreis ist a = b = r, also ist A = r * r * PI = r^2 * PI.
Diese recht einfache Formel lässt sich auch einfacher, nämlich vom Kreis ausgehend herleiten:
Man stelle sich vor, ein Kreis (r = b) sei mit unendlich kleinen Quadraten ganz ausgefüllt. Die Anzahl der Quadrate wäre dann (Ak = Kreisfläche, Aq = Quadratfläche) n = Ak / Aq = b^2 * PI / Aq. Nun streckt man den Kreis in x-Richtung, bis er zu der gewünschten Ellipse geworden ist; die Quadrate werden dabei zu Rechtecken mitgestreckt. Klarerweise bleibt bei diesem Vorgang die Anzahl der Rechtecke gleich der Anzahl der Quadrate vorher, jedoch ist die Fläche eines Rechtecks nun Ar = Aq * (a / b), weil a / b das "Streckungsverhältnis" ist. Für die Fläche der Ellipse ergibt sich nun n * Ar = n * Aq * (a / b) = Ak * (a / b) = b^2 * PI * a / b = a * b * PI.
Grüße, Nuefz |
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