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Beitrag |
    
whiskey (whiskey)
Mitglied
Benutzername: whiskey
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 00:35: | 
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hallo, ich suche die eigenwerte und die normierten eigenvektoren der matrizen
und
vielleicht steigt ja jemand durch, vielen dank schonmal für hilfe,
euer whiskey |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 462
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 08:35: |
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whiskey,
Man muss die grundlegenden Definitionen kennen:|
Ein Vektor u heisst Eigenvektor (EV) zum Eigenwert
(EW) l der Matrix A, wenn u ‡ 0 und
(1) Au = lu.
Gleichbedeutend damit ist : u ist eine Lösung
des homogenen linearen Gleichungssystems
(2) (A-lE)u = 0
Die EW von A sind genau die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms
(3) fA(l):= |A-lE|
Rechne nun nach, dass
fA(l) = l2-9 ==> l1=3,l2=-3, und bestimme die zugehörigen EW
gemäss (2).
B hat einen 2-fachen EW: l1=l2
=1, es gibt nur einen EV,nämlich (1,0)t.
Geometrisch: die fragliche Abbildung ist eine
Scherung in x1-Richtung.
mfG Orion
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whiskey (whiskey)
Mitglied
Benutzername: whiskey
Nummer des Beitrags: 22
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 23. Januar, 2003 - 18:55: |
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vielen Dank, Orion für deine schnelle Antwort!  Könntest du mir vielleicht nochmal die Berechnung des EW und EV am Beispiel der Matrizen A und B (nicht ganz so allgemein) vorführen, wäre sehr nett!
Vielen Dank, und viele Grüße
whiskey |
Orion (orion)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: orion
Nummer des Beitrags: 465
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 08:11: |
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whiskey,
|A-lE|=(-1-l)(1-l)-2*4
= l2-9=(l-3)(l+3).
Für l=3 lautet das Gl.-System für den zugeh.
EV u=(u1,u2)t:
-4u1 + 2u2 = 0, 4u1-2u2 = 0
Lösungen sind offenbar alle Vektoren
u = k(1,2)t, k € R-{0}.
Speziell für k=1/sqrt(5) wird |u| = 1
(Normierung). Rechne nach,dass Au=3 u !
Die analoge Rechnung für den 2. EW wirst Du nach
diesem Muster sicher selbst schaffen (es ergibt sich
übrigens v= (1/sqrt(2))(-1,1)t).
Im Fall der Matrix B gilt fB(l)
=(l-1)2,
d.h. l=1 ist einziger EW, und dazu gehört der
normierte EV u=(1,0)t.
mfG Orion
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whiskey (whiskey)
Mitglied
Benutzername: whiskey
Nummer des Beitrags: 23
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. Januar, 2003 - 15:08: |
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Mh, das is ja gar nicht so schwer wie ich dachte... wenn mans mal so sieht
Vielen vielen Dank, für die ausführliche Erläuterung, Orion! |
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