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marika wolff (wolffi)
Neues Mitglied
Benutzername: wolffi
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 10:08: | 
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Hallo,
ich habe ein Problem.
Von einer linearen Abbildung im R^3 ist bekannt, dass sie eine Drehung
darstellt und der Punkt P=(4,2) auf den Punkt P=(2,4) abbildet.
Nun soll ich die Drehmatrix angeben und wie gross der Drehwinkel ist...
Habe einiges rumprobiert, aber irgendwie habe ich keine rechte Ahnung, wie
ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Bin für jeden Hinweis dankbar.
Dank, wolffi |
H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1947
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 12:30: |
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Hi Marika,
Sollte es nicht heissen im R2 ?
Gesucht wird der Drehwinkel delta der Drehung
mit Zentrum im Nullpunkt O.
Hilfreich ist eine Skizze eines Koordinatensystems
mit dem Originalpunkt P(4/2) und dem zugehörigen
Bildpunkt P´ (2/4).
Die beiden Punkte liegen übrigens symmetrisch
bezüglich der Winkelhalbierenden y = x des ersten
und dritten Quadranten, aber das ist eine andere
Geschichte.
Du findest den Drehwinkel delta sofort als Winkel
POP´ mit Scheitel in O mit Hilfe des Skalarprodukts
der Ortsvektoren u = OP = {4;2} und v =OP´ ={2;4}.
Wir erhalten mit einer bekannten Formel
cos (delta) = u . v / [abs(u) * abs(v)]
= ( 8+8 ) / [wurzel(20)* wurzel(20)] = 4/5.
N.B.Im Zähler steht das Skalarprodukt der Vektoren
u und v, im Nenner das Produkt der Beträge dieser
Vektoren.
Aus dem Kosinus von delta berechnen wir den Sinus
des Winkels: sin(delta) = 3/5.
Mit den bekannten Drehformeln gewinnen wir
die Abbildungsgleichungen:
x´= x cos (delta) – y sin( delta) = 4/5 * x – 3/5 * y
y´= x sin (delta) + y cos( delta) = 3/5 * x + 4/5 * y
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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H.R.Moser,megamath (megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: megamath
Nummer des Beitrags: 1948
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. Januar, 2003 - 12:50: |
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Hi Marika,
Du kannst auch so vorgehen:
Setze die allgemeine Drehformel für eine Drehung um
den Nullpunkt mit dem Drehwinkel delta an, nämlich:
x ´ = x cos (delta) – y sin( delta)
y´ = x sin (delta) + y cos( delta)
Setze darin x = 4 , y = 2 und x´= 2 , y ´= 4 ein.
Löse nach s = sin (delta) und c = cos (delta) auf.
Es kommt: s = 3/5, c = 4/5 wie bei der ersten
Methode.
Kontrolle: s^2 + c^2 = 1 , wie es sein muss !
Es geht widerspruchsfrei, weil die gegebenen Punkte
P und P´ dieselben Abstände vom Drehzentrum O
haben.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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marika wolff (wolffi)
Neues Mitglied
Benutzername: wolffi
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. Januar, 2003 - 20:55: |
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ich danke für die schnelle antwort.
super.
wolffi |
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