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Bunny (Bunny)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 15:44: | 
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Zeigen Sie,dass die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten y"-2xy'+6y=0 durch die endliche Potenzreihe y(x)=a0(0 teifergestellt)+a1(1 tiefergestellt)*x+a2(2 tiefergestellt)*x^2+a3(tiefergestellt)*x^3+a4(4 tiefergestellt)*x^4 gelöst wird. |
Donald
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 01. November, 2001 - 19:41: |
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a0, a1, a2, a3, a4 heißen e, d, c, b, a
y(x) = ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx +e
y'(x) = 4ax^3 +3bx^2 +2cx +d
y''(x) = 12ax^2 +6bx +2c
-2xy' = -8ax^4 -6bx^3 -4cx^2 -2dx
6y = 6ax^4 +6bx^3 +6cx^2 +6dx +6e
----------------------------------**--- (addieren)
y'' - 2xy' +6y = (6a-8a)x^4 +(6b-6b)x^3 +(6c-4c+12a)x^2 +(6d-2d+6b)x +(6e+2c)
Dies muss laut DGl gleich 0 sein => Koeffizientenvergleich:
6a-8a = 0 => a=0
6b-6b = 0 lässt b vorerst unbestimmt
6c-4c+12a = 0 => c=0
6d-2d+6b=0 => 4d +6b=0
6e+2c=0 => mit c=0 folgt e=0
als einzige bleibt die Gleichung 4d+6b=0 übrig.
1 Gleichung, 2 Unbekannte => wähle b=2 => d=-3
=> y"-2xy'+6y=0 wird durch die endliche Potenzreihe
y(x) = 0x^4 +2x^3 +0x^2 +-3x +0 gelöst,
also
y(x) = 2x³ -3x
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Bunny (Bunny)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. November, 2001 - 16:32: |
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Danke!!! |
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