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Beitrag |
    
Andreas
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 15:54: | 
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Hi!
Ich versuche schon seit ein paar Tagen
herauszufinden, wie ich folgendes Integral
mit partieller Integration berechne:
ò-2 2sin²x*(1-2x)³dx
Man soll falls nötig die Beziehung
sin²x+cos²x=1 benutzen.
Kann mir das wirklich niemand beantworten?
Andreas |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 17:36: |
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Andreas :
Multipliziere den Integranden aus und beachte,
dass das Integrationsintervall symmetrisch bzgl.
0 ist, d.h. der Anteil, den die ungeraden
Funktionsterme liefern, ist = 0. Es bleibt also
int[-2..2]sin^2(x)dx+12*int[-2..2]x^2*sin^2(x)dx.
Eine Stammfunktion von sin^2(x) ist
(*) (1/2)*[x - cos(x)sin(x)]
Dies benutzen wir, um int(x^2sin^2(x))dx mittels
partieller Integration zu berechnen :
int(x^2sin^2(x))dx = (1/2)x^2[x-cos(x)sin(x)]
- (1/3)x^3 + int(x*cos(x)sin(x))dx.
Auch das Restintegral ergibt sich durch partielle
Integration. Beachte dazu, dass (1/2)sin^2(x) (oder meinetwegen auch -(1/2)cos^2(x)) eine Stammfunktion von cos(x)sin(x) ist :
int(x*cos(x)sin(x)dx) = (x/2)sin^2(x)-(1/2)int(sin^2(x))dx.
Hierin muss man nur noch (*) einsetzen.
Der Rest ist einfach (wenn auch langweilig).
mfg
Hans |
Andreas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 14:38: |
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Vielen Dank für deine Hilfe Hans!
Auf diesen Ansatz wäre ich nicht gekommen,
aber ist es nicht so, dass die Integrale
mit GERADEN Exponenten 0 ergeben?
Ich habe mir diese Funktionen zeichnen lassen,
und nur die mit geraden Exponenten waren
punktsymmetrisch zum Ursprung.
Viele Grüße,
Andreas |
Andreas
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 15:43: |
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PS:
Fällt mir gerade ein,
wie würdest du das Integral dann eigentlich lösen,
wenn es nicht (1-2x)^3 sondern (1-2x)^15
oder (1-2x)^99 hieße?
Würdest du dann auch ausmultiplizieren?
Und wie würdest du die Frage nach der
Stammfunktion von sin²x*(1-2x)^3 beantworten? |
Hans (Birdsong)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 17:48: |
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Andreas:
Wenn f(x) ungerade ( d.h.f(-x) = - f(x)), und
F(x) die bei x=0 verschwindende Stammfunktion von
f(x) ist, so ist F(x) gerade (d.h. F(-x)=F(x)).
Der Hauptsatz besagt dann
int[-a..a]f(x)dx = F(a)-F(-a) = F(a)-F(a) = 0.
f(x) = x^(2k-1)*sin^2(x) ist ungerade !
Die Stammfunktion von (1-2x)^n*sin^2(x)
fŸr n=3 habe ich dir ja angegeben (du musst
die einzelnen Terme nur noch zusammensetzen).
FŸr allgemeine Exponenten n in |N habe ich
durch 2-malige partielle Integration eine
etwas komplizierte Rekursionsformel erhalten, in der noch
int{x*(1-2x)^(n-1)dx}
und
int{(1-2x)^(n-2)*sin^2(x)dx}
auftreten. Auf jeden Fall gibt's einiges zu
rechnen.
mfg
Hans |
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