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Andreas
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 15:54: |
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Hi! Ich versuche schon seit ein paar Tagen herauszufinden, wie ich folgendes Integral mit partieller Integration berechne: ò-2 2sin²x*(1-2x)³dx Man soll falls nötig die Beziehung sin²x+cos²x=1 benutzen. Kann mir das wirklich niemand beantworten? Andreas |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 17:36: |
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Andreas : Multipliziere den Integranden aus und beachte, dass das Integrationsintervall symmetrisch bzgl. 0 ist, d.h. der Anteil, den die ungeraden Funktionsterme liefern, ist = 0. Es bleibt also int[-2..2]sin^2(x)dx+12*int[-2..2]x^2*sin^2(x)dx. Eine Stammfunktion von sin^2(x) ist (*) (1/2)*[x - cos(x)sin(x)] Dies benutzen wir, um int(x^2sin^2(x))dx mittels partieller Integration zu berechnen : int(x^2sin^2(x))dx = (1/2)x^2[x-cos(x)sin(x)] - (1/3)x^3 + int(x*cos(x)sin(x))dx. Auch das Restintegral ergibt sich durch partielle Integration. Beachte dazu, dass (1/2)sin^2(x) (oder meinetwegen auch -(1/2)cos^2(x)) eine Stammfunktion von cos(x)sin(x) ist : int(x*cos(x)sin(x)dx) = (x/2)sin^2(x)-(1/2)int(sin^2(x))dx. Hierin muss man nur noch (*) einsetzen. Der Rest ist einfach (wenn auch langweilig). mfg Hans |
Andreas
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 14:38: |
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Vielen Dank für deine Hilfe Hans! Auf diesen Ansatz wäre ich nicht gekommen, aber ist es nicht so, dass die Integrale mit GERADEN Exponenten 0 ergeben? Ich habe mir diese Funktionen zeichnen lassen, und nur die mit geraden Exponenten waren punktsymmetrisch zum Ursprung. Viele Grüße, Andreas |
Andreas
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 15:43: |
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PS: Fällt mir gerade ein, wie würdest du das Integral dann eigentlich lösen, wenn es nicht (1-2x)^3 sondern (1-2x)^15 oder (1-2x)^99 hieße? Würdest du dann auch ausmultiplizieren? Und wie würdest du die Frage nach der Stammfunktion von sin²x*(1-2x)^3 beantworten? |
Hans (Birdsong)
| Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 17:48: |
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Andreas: Wenn f(x) ungerade ( d.h.f(-x) = - f(x)), und F(x) die bei x=0 verschwindende Stammfunktion von f(x) ist, so ist F(x) gerade (d.h. F(-x)=F(x)). Der Hauptsatz besagt dann int[-a..a]f(x)dx = F(a)-F(-a) = F(a)-F(a) = 0. f(x) = x^(2k-1)*sin^2(x) ist ungerade ! Die Stammfunktion von (1-2x)^n*sin^2(x) fŸr n=3 habe ich dir ja angegeben (du musst die einzelnen Terme nur noch zusammensetzen). FŸr allgemeine Exponenten n in |N habe ich durch 2-malige partielle Integration eine etwas komplizierte Rekursionsformel erhalten, in der noch int{x*(1-2x)^(n-1)dx} und int{(1-2x)^(n-2)*sin^2(x)dx} auftreten. Auf jeden Fall gibt's einiges zu rechnen. mfg Hans |
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