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Diskussion über Diagonalmatrix?!?!?!?...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Matrizen » Diskussion über Diagonalmatrix?!?!?!? « Zurück Vor »

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Sharon (Sharon)
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Veröffentlicht am Freitag, den 26. Oktober, 2001 - 11:58:   Beitrag drucken

Hallo an alle!

Hier das Problem, welches mir gestern und vorgestern den Schlaf geraubt hat:

Es sei A eine n-reihige Diagonalmatrix!

1) Ich suche alle Matrizen B mit AB = BA (d.h. kommutiert mit B).

2) Gibt es Diagobalmatrizen, die mit jeder Matrix BA kommutieren?

3) Gibt es Diagonalmatrizen, die ausschließlich mit anderen Diagonalmatrizen kommutieren?


Ich versuche es, aber ich verstehe nicht was die von mir wollen!!!

Ich danke euch für eure Hilfe.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Samstag, den 27. Oktober, 2001 - 08:22:   Beitrag drucken

Sharon:

Es sei A = (a_ik) , B=(b_ik) = diag(b_1,...,b_n),
also b_ik = b_i wenn i=k, b_ik = 0 wenn i<>k.Wir berechnen gemaess Definition den Eintrag in der
i-ten Zeile und k-ten Spalte von AB bzw. BA und
erhalten

sum[j=1..n]a_ij*bjk = a_ik*b_k

bzw.

sum[j=1..n]b_ij*a_jk = b_i*a_ik.

Daher :

AB = BA <==> (b_i - b_k)*a_ik = 0 fŸr i,k=1,...,n

<==> a_ik = 0 fŸr alle Indexpaare (i,k) mit
b_i <> b_k.

Damit solltest Du alle Fragen leicht beantworten
koennen.

mfg

Hans
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Sharon (Sharon)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 28. Oktober, 2001 - 21:29:   Beitrag drucken

Danke dir Birdsong ...

... bis jetzt, muss ich ehrlich zugeben, bin ich nicht sicher, ob ich das noch schaffen werde, aber falls ich weitere Probleme habe, dann Mail ich dir einfach ...

Naja, natürlich nur, wenn dir das nichts ausmacht!

Bye
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birdsong
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Veröffentlicht am Montag, den 29. Oktober, 2001 - 06:46:   Beitrag drucken

You are welcome.
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Hans (Birdsong)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 30. Oktober, 2001 - 17:10:   Beitrag drucken

Sharon :

2) Die Frage heisst wohl: Gibt es Diagonalmatrizen B, welche mit jeder Matrix A kommutieren ?
Antwort : Ja, die Vielfachen der Einheitsmatrix
B = bE = diag(b,b,...,b)

3) Die Diagonaleintraege b_i seien paarweise
verschieden, d.h.: b_i - b_k <> 0 fŸr i <> k.
Dann gilt nach Obigem

AB = BA <==> a_ik = 0 fŸr i <> k <==> A ist
Diagonalmatrix.

mfg

Hans

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