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Partialbruchzerlegung

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Heini
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 17:49:   Beitrag drucken

Hallo!
Ich hätte da noch ein Problem:

Berechne die Partialbruchzerlegung von

1/(x^3-3)

Irgendwie schaut die Angabe nicht schwer aus, aber ich habe leider keine Ahnung wie das Beispiel lösen könnte. Danke für eure Hilfe!
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Xell
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 20:04:   Beitrag drucken

Hi Heini,

Falls dir das hilft, hier die Nullstellen:

x_1 = 3Ö3
x_2/3 = -(x_1)/2 +/- 1/2 * sqrt(3) * x_1 * i

Grüße, Xell
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H.R.Moser,megamath.
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 26. September, 2001 - 21:27:   Beitrag drucken

Hi Heini,

Der Nenner hat die reelle Nullstelle u = .3^(1/3) und
zwei konjugiert komplexe Lösungen ,deren Werte wir
ignorieren wollen.
Wir dividieren x^3 - 1 durch x -u
Der Quotient q ist eine quadratsche Funktion in x , nämlich
q(x) = x ^ 2 + u * x + u ^ 2 mit negativer Diskriminante

Für die gesuchte Partialbruchzerlegung setzen wir an :
1 / (x^3 - 3 ) = A / ( x - u ) + ( B * x + C ) / q(x).
Der Koeffizientenvergleich liefert die Gleichungen
A + B = 0
A * u - B * u + C = 0
A* u ^ 2 - C * u = 1
Lösungen:
A= 1 / (3 * u ^ 2 ) = 1 / [ 3 * 3 ^(2/3) ]
B = - A
C = - 2 / (3*u) =.....

Nach gehöriger Vereinfachung kommt die gesuchte Zerlegung:
1 / ( x ^3 -3 )= 1 / ( 3 u ^ 2) * [ 1 /(x-u) - ( x + 2*u ) / (x^2 + u*x + u^2)
mit u = 3 ^ ( 1 / 3 ) .

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.

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