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DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 95
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Dezember, 2002 - 16:52: | 
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Hallo,
es wäre sehr nett, wenn mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen könnte. Eine kurze Erläuterung zum Vorgehen wäre sicherlich hilfreich, weil ich mir daran ein bisschen die Zähne ausgebissen habe:
"Sei G eine endliche Gruppe, S={xyx-1y-1} und U die kleinste S enthaltende Untergruppe von G. Man zeige, dass U ein Normalteiler von G und G/U abelsch ist."
Danke schon jetzt! |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 781
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 13. Dezember, 2002 - 18:49: |
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Hi Dull
Die gleiche Aufgabe musste ich auch schonmal machen ;)
Erstmal zeigen wir, dass U ein Normalteiler ist.
Sei x aus G. Dann ist zu zeigen:
xUx-1=U
Sei y aus U.
Zu zeigen ist damit xyx-1 ist aus U.
Nach Voraussetzung gilt:
xyx-1y-1 aus U, weil S in U liegt.
Daraus folgt:
xyx-1*1=xyx-1y-1y Element U.
=> xUx-1 Teilmenge von U.
=>
U=x-1(xUx-1)x Teilmenge von xUx-1
Zusammen folgt damit
xUx-1=U
Damit ist U Normalteiler.
Jetzt ist noch zu zeigen, dass G/U abelsch ist.
Seien x,y aus G und X, Y Rechtsnebenklassen von G modulo U mit X=Ux, Y=Uy.
Zu zeigen ist XY=YX
<=> UxUy=UyUx
<=> Uxy=Uyx
<=> Uxyx-1y-1=Uyxx-1y-1
<=> Uxyx-1y-1=U
Da xyx-1y-1 aus S und somit aus U ist, gilt das Kommutativgesetz.
MfG
C. Schmidt |
DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 96
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Dezember, 2002 - 11:09: |
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Danke!
hast mir sehr geholfen! |
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