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Beitrag |
    
Kay Schönberger (kay_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 107
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 17:09: | 
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Hallo,
Bei dem folgenden Problem habe ich bisher noch keinen vielversprechenden Ansatz:
Sei f = f(x) Funktion und c beliebig gewählte Konstante.
Das Substitutionsproblem der Funktion f besteht nun darin, eine (nichttriviale) Funktion y = y(x) zu finden, so das gilt:
f(x) = f(y(x)) * y'(x) * c
(Nichttrivial heißt, daß z. B. für c=1 nicht y=Id ist)
Beispielsweise ist für f(x) = 1/(1+x2), c = -2
y(x) = (sqrt(1+x2)+1)/x eine Lösung.
Für sehr einfache Funktionen f findet man (meist durch Probieren) recht schnell eine Lösung, eine allgemeine Lösungsmethode ist mir aber noch nicht bekannt.
Kay S. |
heimdall (gjallar)
Junior Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 18:01: |
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Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x), also F'(x)=f(x).
Integriere die Funktionalgleichung nach x:
F(x) = F(y(x)) * c + d
mit beliebiger Integrationskonstante d. Falls nun die Umkehrfunktion der Stammfunktion F-1(x) existiert, kann man formal nach y(x) auflösen:
y(x) = F-1((F(x)-d)/c)
In deinem Beispiel:
f(x) = 1/(1+x²) , c = -2
F(x) = arctan(x) , F-1(x) = tan(x)
y(x) = tan((arctan(x)-d)/(-2)) = (sin(d) - x*cos(d))/(cos(d) + x*sin(d) + Ö(x²+1))
speziell für d = -p
y(x) = x / (Ö(x²+1) - 1) = (Ö(x²+1) + 1) / x
Gruß,
Gjallar
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Kay Schönberger (kay_s)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kay_s
Nummer des Beitrags: 108
Registriert: 01-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 18:50: |
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Hallo,
Du hast Recht, formal kann man immer den Ansatz
y(x) = F-1(F(x)/c) machen.
Ich denke, das eigentliche Problem besteht darin, auch dann eine Lösung zu finden, wenn F(x) nicht so ohne weiteres angebbar ist, z. B. im Fall f(x) = ex/x.
Dann kann es ja dennoch durchaus sein, daß
y(x) = F-1(F(x)/c) eine Lösung in elementarer Form produziert.
Gruß
Kay S. |
heimdall (gjallar)
Junior Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 08:50: |
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Nun, zumindest entfällt bei einfachen Funktionen das von dir erwähnte Probieren und man erhält durch den freien Parameter d auch für c=1 eine nichttriviale Lösung.
Etwas allgemeiner ist folgende Methode anwendbar:
Sei f an den (nicht notwendig verschiedenen) Stellen x0 und x1 beliebig oft differenzierbar und f(x1) ungleich 0. Dann kann y(x) durch den Ansatz
y(x0) = x1
(durch wiederholtes Differenzieren der Funktionalgleichung) um x0 in eine Taylorreihe entwickelt werden.
f(x0) = f(x1) * y'(x0) * c ==> y'(x0) = f(x0)/(f(x1) * c)
f'(x0) = f'(x1) * (y'(x0))² * c + f(x1) * y''(x0) * c ==> y''(x0)
...
(Beitrag nachträglich am 26., November. 2002 von gjallar editiert)
Gruß,
Gjallar
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